黄志刚

摘 要：超静定结构内力的求解既是结构力学中的一个重点问题，更是一个难点问题。由于其求解复杂，使得学生在学习过程中倍感费劲。结合笔者多年的教学经验，从结构对称性的利用和力法与位移法混合应用两个方面来谈谈超静定结构内力简化计算的方法，使得学生对超静定结构内力的求解有一个更好地理解和掌握。

关键词：结构力学 超静定 简化 对称 混合应用

中图分类号：O342；TU311 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（c）-0251-01

一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定，就称为超静定结构[1]。超静定结构包括超静定梁、超静定刚架、超静定桁架、超静定组合结构以及超静定拱。由于超静定结构具有良好的力学性能和抵抗突然破坏的能力，其强度、刚度以及稳定性等都要比静定结构更好，因此，超静定结构是土木工程中经常用到的结构[2]。

由于超静定结构的复杂性，在地方性应用型本科院校的《结构力学》课程教学过程中，学生学习到这部分内容时，常常感到十分迷惑，困难重重。利用结构的对称性和某些特点，有时可以达到简化计算的效果[3]。在此对超静定结构简化计算的方法进行归纳和探究，以使得学生更好地掌握超静定问题的求解，并将其应用到实际工程中，下面就予以介绍。

1 对称性的利用

在实际工程中，很多结构具有对称性，利用对称性可以使计算工作得到简化。超静定结构的对称性包括两方面：（1）几何形状和支承对称；（2）杆件截面和材料性质也对称。对称性利用包括以下几种方法。

1.1 选取对称的基本结构

如图1（a）中的对称结构，在一般荷载作用下有三个多余未知力；若荷载为正对称，则可以取图1（b）的基本体系，此时有两个多余未知力；若荷载为反对称，则基本体系如图1（c），此时只有一个多余未知力X1。可见，取对称的基本结构可以使未知力的个数减少。

1.2 选取半边结构

作用于对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。利用这些规则，计算对称的超静定结构时，只需计算这些结构的半边结构。

选取半边结构的原则如下。

（1）奇数跨对称刚架在对称荷载作用下，对称轴处简化为一定向支座。

（2）奇数跨对称刚架在反称荷载作用下，对称轴处简化为一竖向链杆。

（3）偶数跨称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。

（4）偶数跨称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为半边结构，且中柱的惯性矩减半。

以下图2～图7为几种典型对称结构的半边结构。

1.3 中心对称结构

前述所讲的结构都是轴对称结构，还有一种对称结构是中心对称结构。中心对称结构是指结构的一半绕对称中心旋转180°后与另一半完全重合，如图8所示结构为中心对称结构，对称中心是C点。

中心对称结构的荷载也分成正对称和反对称。正对称荷载是指：对称中心一侧的荷载绕中心旋转180°后与另一侧的荷载完全重合，如图8（a）；反对称荷载是指：对称中心一侧的荷载绕中心旋转后与另一侧荷载位置重合，大小相等，但方向相反，如图8（b）。

对于中心对称结构，有如下一些相关结论：

（1）中心对称结构，在正对称荷载作用下，M图、FQ图、FN图以及位移都为正对称。图9（a）、（b）、（c）、（d）即为图8（a）对应的弯矩、剪力、轴力图和变形图。

（2）中心对称结构，在反对称荷载作用下，M图、FQ图、FN图以及位移都是反对称，图10（a）、（b）、（c）、（d）即为图8（b）对应的弯矩、剪力、轴力图和变形图。

（3）中心对称结构，在正对称荷载作用下，对称中心处反对称的未知力为零，如图11（a）。

（4）中心对称结构，在反对称荷载作用下，对称中心处正对称的未知力为零，如图11（b）。

2 力法与位移法的混合应用

某些结构若用一般的力法或位移法求解，会有多个（一般不少于3个）基本未知量，这样采用手算就不太方便。如果结构具有如下特点就可以考虑联合应用力法和位移法进行简化求解：结构的一部分结点位移多、外部约束少，而结构的另一部分结点位移少、外部约束多。对于结点位移多、外部约束少的部分可以采用力法进行求解，而对于结点位移少、外部约束多的部分则可以采用位移法进行求解。

如图12（a）所示钢架的弯矩图。可以先将原荷载分解为正对称和反对称荷载，并分别取半边结构计算，图12（b）用位移法计算比较方便，只有一个基本未知量，而图12（c）用力法计算更方便，也只有一个基本未知量。

3 结语

超静定结构的求解既是结构力学中的一个重点问题，更是一个难点问题，并且其求解方法种类众多。如何进行简化计算更是使很多学生摸不着头脑。实践证明，如果能够很好的运用以上方法，进行系统的总结归纳并加以练习，那么对学生掌握其内容将起到很好的促进作用。

参考文献

[1] 龙驭球，包世华.结构力学Ⅰ——基本教程[M].2版.北京：高等教育出版社， 2006：206-207.

[2] 成浩.超静定结构的经典方法——力法和位移法[J].内蒙古电大学刊，1988（11）：

19-21.

[3] 于波.对称性在超静定结构中的应用[J].科技传播，2011（3）：190.