匡婷

函数是高中数学的主线，而导数是研究函数的重要有力工具，对导数的考查是各地历年高考的“不动点”. 主要从以下三个方面进行考查：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用（例如求函数的单调区间、极值与最值等），三是考查导数的综合应用.通过对2014年各地高考试题分析，本文对导数的热点题型加以盘点，以期对大家有所帮助.

导数的运算和几何意义

1. 导数运算

例1  已知函数[f0x=sinxx（x>0）]，设[fnx]为[fn-1x]的导数，[n∈N*]. 求[2f1（π2）+π2f2（π2）]的值.

解析  由已知得，[f1（x）=f0（x）=cosxx-sinxx2]，

于是[f2（x）=f1（x）=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3]，

所以[f1（π2）=-4π2]，[f2（π2）=-2π+16π3].

故[2f1（π2）+π2f2（π2）=-1].

点拨  导数的计算是利用导数研究函数的第一步，一定要计算正确.在平时的学习过程中，大家要牢记初等基本函数的导数以及导数的运算法则，对比较复杂的函数求导，遵循先化简再求导的基本原则.

2. 导数几何意义——切线相关问题

例2  如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（   ）

A.[ y=12x3-12x2-x]

B.[ y=12x3+12x2-3x]

C.[ y=14x3-x]

D.[ y=14x3+12x2-2x]

解析  该三次函数的图象过原点，不妨设其解析式为[y=f（x）=ax3+bx2+cx]，且[f（0）=-1]，[f（2）=3]，

所以[c=-1]，[3a+b=1].

又[y=ax3+bx2+cx]过点[（2，0）]，

[∴4a+2b=1]，[∴a=12，b=-12.]

[∴y=f（x）=12x3-12x2-x].

答案  A

点拨  函数[f（x）]在[x=x0]处的导数[f（x0）]的几何意义是曲线[y=f（x）]在点[（x0，fx0）]处的切线的斜率.本题的关键是要抓住在点[（0，0），（2，0）]处直线与曲线相切这两个条件.

利用导数求函数的单调区间

例3  设函数[f（x）=alnx+x-1x+1]，其中[a]为常数. 讨论函数[f（x）]的单调性.

解析  函数[f（x）]的定义域为[（0，+∞）].

[f（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2].

（1）当[a≥0]时，[f（x）>0]，函数[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增.

（2）当[a<0]时，令[g（x）=ax2+（2a+2）x+a]，

由于[Δ=（2a+2）2-4a2=4（2a+1）]，

①当[a=-12]时，[Δ=0]，[f（x）=-12（x-1）2x（x+1）2≤0]，函数[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递减.

②当[a<-12]时，[Δ<0]，[g（x）<0]，[f（x）<0]，函数[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递减.

③当[-120].

设[x1]，[x2（x1

则有[x1=-（a+1）+2a+1a]，[x2=-（a+1）-2a+1a].

因为[x1=a2+2a+1-2a+1-a>0]，

所以，[x∈（0，x1）]时，[g（x）<0]，[f（x）<0].

[x∈（x1，x2）]时，[g（x）>0]，[f（x）>0.]

[x∈（x2，+∞）]时，[g（x）<0]，[f（x）<0.]

综上可得（1）当[a≥0]时，函数[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增;（2）当[a≤-12]时，函数[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递减;（3）当[-12

点拨  导函数的符号决定了原函数的单调性，在高考试题中，多数求单调区间的试题都要对参数进行分类讨论，这是一个难点. 突破这个难点的关键是找到分类讨论的原因：（1）若方程[f（x0）=0]无解，函数在定义域内一般为单调函数;（2）若方程[f（x0）=0]有解，再看方程的解是否在定义域内.

利用导数求函数的极值、最值

例4  已知函数[f（x）=（x2+bx+b）1-2x（b∈R）].当[b=4]时，求[f（x）]的极值.

解析  依题意得[x≤12].

当[b=4]时，[f（x）=-5x（x+2）1-2x.]

由[f（x）=0]得，[x=-2]或[x=0].

所以当[x∈（-∞，-2）]时，[f（x）<0]，[f（x）]单调递减.

当[x∈（-2，0）]时，[f（x）>0]，[f（x）]单调递增.

当[x∈（0，12）]时，[f（x）<0]，[f（x）]单调递减.

故[f（x）]在[x=-2]处取得极小值[f（-2）=0]，在[x=0]处取得极大值[f（0）=4].

点拨  求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程[f（x）=0]，判断[f（x）=0]的根[x0]是否是极值点，即看[x0]左右两边的单调性是否发生了改变.

利用导数求参数的范围

1. 已知函数单调性求参数的取值范围

例5  若函数[f（x）=kx-lnx]在区间[（1，+∞）]上单调递增，则[k]的取值范围是（   ）

A. [（-∞，-2]] B. [（-∞，-1]]

C. [[2，+∞）]   D. [[1，+∞）]

解析  [f（x）=k-1x=kx-1x]，且[x>0]，

由题意可知，[f（x）≥0]，即[kx-1≥0]，即[x≥1k（k<0]时不满足[）].

因为函数[f（x）]在区间[（1，+∞）]上单调递增，

所以[1k≤1]，解得[k≥1].

答案  D

点拨  可导函数在某一区间[I]上单调，就是不等式[f（x）≥0]或[f（x）≤0]的解集包含[I]，也就是在区间[I]上[f（x）≥0]或[f（x）≤0]（有限个点取等号）恒成立.

2. 恒成立问题求参数的范围

例6  当[x∈-2，1]时，不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立，则实数[a]的取值范围是（  ）

A. [[-5，-3]]     B. [[-6，-98]]

C. [[-6，-2]]         D. [[-4，-3]]

解析  （1）当[-2≤x<0]时，不等式转化为[a≤x2-4x-3x3].

令[f（x）=x2-4x-3x3（-2≤x<0）]，

则[f（x）=-x2+8x+9x4=-（x-9）（x+1）x4]，

故[f（x）]在[-2，-1]上单调递减，在[（-1，0）]上单调递增，此时有[a≤1+4-3-1=-2].

（2）当[x=0]时，不等式恒成立.

（3）当[0

综上，[-6≤a≤-2].

答案  C

点拨  若[f（x）]在区间[I]上存在最值，则[?x∈I，][ f（x）≤a]恒成立[?f（x）max≤a];[?x∈I]，[f（x）≥a]恒成立[?f（x）min≥a].

3. 存在问题求参数的范围

例7  设函数[f（x）=alnx+1-a2x2-x（a≠1）]，若存在[x0≥1]使得[f（x0）

解析 [f（x）]的定义域为[（0，+∞）]，

[f（x）=ax+（1-a）x-1=1-ax（x-a1-a）（x-1）].

（1）若[a≤12]，则[a1-a≤1]，

故当[x∈（1，+∞）]时，[f（x）>0]，[f（x）]在[（1，+∞）]上单调递增.

所以存在[x0≥1]使得[f（x0）

解得[-2-1

（2）若[121]，

故当[x∈（1，a1-a）]时，[f（x）<0];当[x∈（a1-a，+∞）]时，[f（x）>0].

[f（x）]在[（1，a1-a）]上单调递减，在[（a1-a，+∞）]上单调递增.

所以存在[x0≥1]使得[f（x0）

而[f（a1-a）=alna1-a+a22（1-a）+aa-1>aa-1]，不符合题意.

（3）若[a>1]，存在[f（1）=1-a2-1=-a-12

综上，[a]的取值范围是[（-2-1，2-1）?（1，+∞）].

点拨  若[f（x）]在区间[I]上有最值，则[?x0∈I]，使得[f（x0）][≤a][?f（x）min≤a];[?x0∈I]，使得[f（x0）≥a][?f（x）max≤a].

4. 导数与相关知识交汇

例8   函数[f（x）=ln（x+1）-axx+a（a>1）].讨论[f（x）]的单调性.

解析  易知[f（x）]的定义域为[（-1，+∞），][f（x）=][xx-（a2-2a）（x+1）（x+a）2].

（1）当[1

若[x∈（-1，a2-2a）]，则[f（x）>0]，[f（x）]在[（-1，a2-2a）]上是增函数.

若[x∈（a2-2a，0）]，则[f（x）<0]，[f（x）]在[（a2-2a，0）]上是减函数.

若[x∈（0，+∞）]，则[f（x）>0]，所以[f（x）]在[（0，+∞）]上是增函数.

（2）当[a=2]时，[f（x）≥0]恒成立（当且仅当[x]=0取等号），

所以[f（x）]在[（-1，+∞）]上是增函数.

（3）当[a>2]时，

若[x∈（-1，0）]，则[f（x）>0]，[f（x）]在[（-1，0）]上是增函数.

若[x∈（0，a2-2a）]，则[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，a2-2a）]上是减函数.

若[x∈（a2-2a，+∞）]，则[f（x）>0]，[f（x）]在[（a2-2a，+∞）]上是增函数.

点拨  导数的工具性注定了高考命题者会在知识交汇处（如和函数、不等式、方程、数列及归纳法等交汇）以压轴题的形式进行考查. 在平时学习中，我们既要抬头看路（关注高考的动向），又要埋头拉车（重视基础，脚踏实地），争取达到最好的学习效果.