刘族刚 何洋

函数[y=f（x）]在[x=x0]处的导数[f（x0）]的几何意义是曲线在点[x0]的切线斜率，它不仅是导数概念直观化形象化的模型，也是导数作为数学工具加以运用的一个重要途径.把握导数几何意义及运用的常用类型，对于学好导数有着极其重要的意义.本文以列举范例的形式，对导数几何意义及运用加以解密.

基础运用——切线斜率

例1  设曲线[C：y=x3]，点[P（1，1）]，直线[l：y=-x+1].

（1）求曲线[C]在点[P]处的切线[m]的方程，并求切线[m]与[C]的公共点的坐标;

（2）曲线在哪个点处的切线与[l]垂直？

解析  （1）由[C：y=x3]得曲线[C]在点[P]的切线斜率为[y=3x2x=1=][3]，

依点斜式知切线[m：y-1=3（x-1）]，即[m：y=3x-2]，

再由[y=3x-2，y=x3]得，[x3=3x-2]，

即[（x-1）2（x+2）=0]，从而[x1=1或x2=-2].

所以切线[m]与[C]的公共点的坐标为[（1，1）和（-2，-8）].

（2）切线与直线[l：y=-x+1]垂直，则切线斜率为1.

设切点为[（x0，x03）]，由[y=3x2]得，[3x02=1]，

则[x0=±33]，从而切点为[（33，39）]或[（-33，-39）].

点拨  “求切线，定切点”，包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况，求切线方程的难点在于分清“过点[（x0，y0）]的切线”与“点[（x0，y0）]处的切线”的差异. 突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处：在过点[（x0，y0）]的切线中，点[（x0，y0）]不一定是切点;而点[（x0，y0）]处的切线，必以点[（x0，y0）]为切点，故此时切线的方程才是[y-y0=f（x0）（x-x0）].

引申运用——割线斜率

例2  在下列四个函数中，满足性质：“对于区间[（1，2）]上的任意[x1，x2]（[x1≠x2]），[f（x1）-f（x2）

A. [f（x）=x]     B. [f（x）=1x]

C. [f（x）=x2]   D. [f（x）=2x]

解析  [f（x1）-f（x2）

答案  B

点拨  函数[y=f（x）]在图象上任意两点[M（a，f（a）），N（b，f（b））]连线的斜率（存在的话）[k=f（b）-f（a）b-a]的取值范围就是函数图象上任意一点切线的斜率（如果存在的话）范围，即导函数的值域，运用这一点，可以解决一些有关割线斜率的棘手问题.

拓展运用——公切线

例3  已知抛物线[C1：y=x2+2x]和[C2：y=-x2+a]，如果直线[l]同时是[C1，C2]的切线，称[l]是[C1，C2]的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段 .

（1）[a]取什么值时，[C1，C2]有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程;

（2）若[C1，C2]有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

解析  （1）函数[y=x2+2x]的导数[y=2x+2]，曲线[C1]在点[P（x1，x12+2x1）]的切线方程是：

[y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1）]，

即[y=（2x1+2）x-x12.] ①

同理，函数[y=-x2+a]的导数[y=-2x]，曲线[C2]在点[Q（x2，-x22+a）]的切线方程是

[y-（-x22+a）=（-2x2）（x-x2）]，

即[y=-2x2x+x22+a.] ②

如果直线[l]是过[P]和[Q]的公切线，则①和②是同一直线方程.

所以[x1+1=-x2，且-x12=x22+a]，

消元得[2x12+2x1+1+a=0]，

若[Δ=4-4×2（1+a）=0].

则[a=-12]，解得[x1=-12]，此时点[P]与[Q]重合.

即当[a=-12]时，[C1，C2]有且仅有一条公切线.

由①得公切线方程为[y=x-14].

（2）证明：由（1）可知，当[a<-12]时，[C1，C2]有两条公切线.

设一条公切线上切点为[P（x1，y1），Q（x2，y2）]，其中[P]在[C1]上，[Q]在[C2]上，

则[x1+x2=-1]，

[y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x12+2x1-（x1+1）2+a=a-1.]

则线段[PQ]的中点为[（-12，a-12）.]

同理，[C1，C2]另一条公切线段[PQ]的中点也是[（-12，a-12）]，

所以公切线段[PQ]与[PQ]互相平分.

点拨  凡遇公切线，先设两切点，然后由导数计算切线斜率，再由点斜式写出两曲线的切线，最后利用两切线重合列方程组求解.

综合运用——化归转化

例4  已知[l：y=3x-13]，在抛物线[C：y=x2+x-2]上找一点[P]，使[P]到直线[l]的距离最短并求此最短距离.

解析  如上图，运用运动变化的观念可知，与已知直线[l]平行且与抛物线[C]相切的直线的切点[P]到直线[l]的距离最短.

设切点[P（x0，x02+x0-2）]，由抛物线[C：y=x2+x-2]得，

[y=2x+1]，

则[2x0+1=3]，故[x0=1].

则切点[P（1，0）]，此时最短距离[d=3×1-1310=10].

点拨  本题属于“非圆类曲线上的动点到与之相离的定直线距离的最值”，解答此类问题，求曲线的切线方程是基础，而转化是关键（将曲线上的动点[P]到定直线[l]的距离最值转化为直线[l]与平行于[l]的抛物线[C]的切线之距）.当然本题也可以设[P（x0，x02+x0-2）]，用点到直线距离公式及配方法求解.