丁光涛

（安徽师范大学物理与电子信息学院，芜湖 241000）

引言

根据给定的系统运动性质，确定系统的受力情况，是动力学一类基本问题，这类问题及其各种变形问题称为动力学逆问题；在质点力学中，已知质点的运动规律求作用其上的力，是已知作用在质点上的力求其运动规律问题的逆问题［1-3］.变分法逆问题研究给定的运动微分方程能否从变分原理中导出，即能否构造出对应的Lagrange函数，将给定的方程表示成Lagrange方程形式［4-9］.显然，上述两类逆问题可以组合起来，根据给定的运动性质来构造Lagrange函数.本文以质点阻尼运动为例，探讨上述两类逆问题的“灰色”特征，即解的不唯一性，以及两类问题的组合导致的新情况，对一个特定的运动存在多种不同的Lagrange函数，但是，在一般情况下这些函数可能不全部是等效的.

1 阻尼运动的动力学逆问题

1.1 从运动规律导出作用在质点几种力的函数表达

设质点质量为m，运动规律为

这个规律与线性阻尼运动规律一致，本文中的阻尼运动就是指按此规律的质点运动.下面导出作用在质点上的力的函数表达式.将式（1）对时间一次和二次导数，分别得到

利用牛顿运动定律，直接得到结果为

即质点受到有关大小随时间按指数规律衰减的阻力作用，其运动微分方程是

必须指出，导出的力的函数表达式不是唯一的，结合式（2）得到

即质点受到大小与速度成正比、方向与速度相反的阻尼力作用，其运动微分方程是

这是……