☉江苏省如皋市薛窑中学夏俊梅

一道定值问题的另解、背景及变形

☉江苏省如皋市薛窑中学夏俊梅

《数学通报》2009年第3期刊出的问题1783（以下简称题1）是：设M是定圆O外一个定点，试问：在定圆O内是否存在一个定点N，使得对于定圆O上的任意点P，比值为定值？若存在，求出该定点N；若不存在，请说明理由·

笔者觅得此题不同于供题者的另一种解法，这种解法与供题者的解法相比，显得较为笨拙，但这种解法却能揭示定点N的一个有趣性质·当然，该题也有古老的历史背景，从而我们可变形出许多与该题同样精彩的其他问题·

一、另解

首先证明一个命题·

命题：设M（m，0）是不在圆O：x2+y2=a2上且不与O重合的一个定点，过M作不与x轴垂直的一动直线与圆O交于两点A、B，取A关于x轴的对称点C，则直线BC必过定

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则由（2）得：

同样由（1）可知：x1y2+x2y1=x1［k（x2-m）］+x2［k（x1-m）］=2kx1x2-km（x1+x2）·

由（1）可知y1+y2=k（x1+x2）-2km，将（3）代入，得：

再将（3）、（4）代入上式，得x1y2+x2y1=2k·

由题意得直线BC的方程为：

现在解题1·

解：过M、O两点作直线与圆O交于A、B两点，如图所示·过M作圆O的一条切线，切点为P′·然后过P′作MO的垂线，垂足为N，则定点N即为所求·

连接P′A，则P′A为∠MP′N的平分线·

连接P′B，则P′B是△P′MN的外角平分线，也有：

过M作圆O的任一条不与AB重合的割线MP′′P，如图，作P′′关于直线AB的对称点Q，连接PQ、PA，则由命题PQ必过直线AB上一定点N′，N′必满足|ON′|·|OM|=|OA|2，而N点满足|ON|·|OM|=|OA|2，则N与N′重合·

至此，我们得到求N点的不同于供题者的另一种解法·这种方法比供题者的方法易于操作·另外，我们还获得N点如命题揭示的一个性质·

二、背景

历史上有这样一道题：设一动点至两定点的距离之比是一个不为零的常数，求这个动点的轨迹·