☉广东省深圳市南头中学方亚斌

从旧题看新题

☉广东省深圳市南头中学方亚斌

高考试题，是高考命题组成员集体智慧的结晶·一些经典的数学高考题因魅力无穷而备受历年各地高考题命题者的青睐，他们以这些熠熠生辉的高考题为原型，经过加工改造，演绎拓展，移植深化，又衍生出背景深刻，内涵丰富，风格独特的新高考题，这些渊源深刻的命题同时载入数学高考题史册，将高考题库点缀得璀璨无比·研究这些有着千丝万缕的关系的高考题的发展和变化轨迹，对我们以后的高考命题和备考具有双重意义·笔者跟踪了近30年的高考数学试题，通过探“源”觅“流”，从老题的角度品味新题，现将自己的一些理解与感悟综述如下·

一、同题借用

不知是偶然的巧合，还是命题者有意借用，相隔较长的年份，偶尔也会出现完全一样的高考题·

例1（2004年安徽春季卷第3题）已知F1、F2为椭圆焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，∠F1MF2=60°，则椭圆的离心率为（）·

改变一下四个选项的位置，可编拟：

此外，2013年辽宁卷理第22题是借用1978年全国卷第3题，2013年辽宁卷理第18题第一问是借用1986年全国卷第3题·

二、模仿改造

将试题中的数量关系或结构形式进行一些简单的模仿与改造生成新题·

1·改变数量

例2（1990年全国卷理（文）第25（26）题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等这个椭圆上的点的最远距离

且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3，求椭圆C的方程·

2·迁移结论

将某些高考题中具有不变性（定线、定长、定点、定值）的结论迁移到另外的情境中产生新题·

例3（2010年全国I卷理第21题）已知抛物线C：y2= 4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，证明：点F在直线BD上·

本题的一般情形是：已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过定点K（m，0）（m＜0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，则直线BD过定点（-m，0）［1］·

将此结论迁移到另外的背景中，可编拟：

（2013年陕西卷理第20题）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8·

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点·

说明：由本题（Ⅰ）得所求抛物线的方程为y2=8x，若坐标·

将本题中的“离心率”、“点的坐标”和“最远距离”这三个量分别稍作改变，可以编拟：

（2012年广东卷理第20题（1））在平面直角坐标系连接BQ，则BQ与抛物线y2=8x必有第二个交点（否则，若只有一个交点，则BP、BQ都是抛物线的切线，P、Q就关于x轴对称，PQ垂直于x轴，与题设矛盾），不妨设此交点为R，因为x轴是∠PBQ的角平分线，抛物线也是关于x轴对称的，所以点R、P关于x轴对称，这与例题中的“点A关于x轴的对称点为D”含义完全相同·

3·转换结构

例4（2009年上海卷理第12题）已知函数f（x）= sinx+tanx·项数为27的等差数列｛an｝满且公差d≠0·若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k= _________时，（fak）=0·

本题将等差数列镶嵌在函数之中，富有新意·我们可以证明：若函数（fx）是定义在D（0∈D）上且单调的奇函数，等差数列｛an｝满足an∈D，且（fa1）+（fa2）+…+（fa2k+1）=0，那么ak+1=

据此，构造R上单调的奇函数g（x）=x3+x和等差数列｛bn｝，且令g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0（1）·

由此可得b4=0·如作替换g（x）=（fx+3）-2，an=bn+3，则f（x）=（x-3）3+x-1，（1）式变为（fa1）+（fa2）+…+（fa7）=14，由b4=0可得a4=3，进一步求得a1+a2+…+a7=7a4=21，可编拟：

题1：（2012年四川卷文第12题）设函数（fx）=（x-3）3+ x-1，｛an｝是公差不为0的等差数列，（fa1）+f（a2）+…+（fa7）=14，则a1+a2+···+a7=（）·

A.0B.7C.14D.21

题2：（2012年四川卷理第12题）设函数f（x）=2xcosx，｛an｝是公差为的等差数列，（fa1）+（fa2）+…+（fa5）= 5π，则［（fa3）］2-a1a5=（）·

4·仿造图形

例5（1999年全国卷理第10题）如图1，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）·

图1

图2

模仿本题的“楔形”特征，保留问题情境，可编拟：

（2005年全国Ⅰ卷理第5题）如图2，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）·

三、特例再生

将一般问题特殊化，再生题·

例6（2004年北京卷理第17题（2））如图3，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点·当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数·

图4

图3

本题中，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，用“点差法”可以得到y1+y2=-2y0，进一步求

（2005年江西卷文第21题（1））如图4，M是抛物线y2= x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|= |MB|·若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值·

四、逆向转换

将命题中的已知事项和结论中的事项作相等个数的变换，得到新命题·

将“由焦点弦所在直线的斜率求曲线的离心率”改为“由曲线的离心率求焦点弦所在直线的斜率”，可编拟：

题2：（2009年全国Ⅱ卷理（文）第9（11）题）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）·

五、类比移植

通过对原题表面内容、内在关系结构及解题思想方法进行联想比较、类比迁移，得出具有新质的试题·

1·条件类比

根据两类对象之间在某些方面的相似或相同，推出其他方面的相似或相同·如解析几何中，命题者经常通过置换圆锥曲线的类型，把圆、椭圆、双曲线、抛物线互相交换，编拟新题·

例8（1993年全国卷理第18题）已知异面直线a、b所成的角为50°，过空间一定点P作与直线a、b所成的角都是30°的直线有且只有（）·

A.1条B.2条C.3条D.4条

将直线与平面进行类比，可编拟：

题1：（2004年湖北卷理第11题）已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）·

A.1条B.2条C.3条D.4条

题2：（2009年重庆卷理第9题）已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为（）·

A.2B.3C.4D.5

2·方法类推

通过类比解题方法产生新的问题·

（2003年上海春季卷第12题）设

六、拓展演绎

通过由此及彼，由表及里，观察、比较与分析，产生认知迁移·

1·拓展背景

从不同角度拓展问题背景，导出有价值的新的结论·

例10（1992年全国卷文第24题）求sin220°+cos280°+

本题的结构与余弦定理类似，我们可以寻求其几何意义·一般地，我们有：将正弦定理：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC代入余弦定理a2+b2-2ab·cosC=c2，化简得sin2A+ sin2B-2sinAsinB·cosC=sin2C①·

①式中角A、B、C为三角形的三内角，只要满足0＜A、B、C＜π，且A+B+C=π即可·

以①为结论，可以编拟许多问题·如令A=20°，B= 40°，C=120°，即得：

题1：（1995年全国卷理第22题）求sin220°+cos250°+ sin20°cos50°的值·

在①中令C=60°，可以得到sin2A+sin2B-sinAsinB=

因C=60°，则A+B=120°，即α+90°+β=120°，则α+β= 30°·

在②中，对α、β赋值，如13°+17°=15°+15°=18°+12°=-18°+48°=-25°+55°=30°，可编拟：

题2：（2012年普福建卷理（文）第20（17）题）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数·

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°；

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°·

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论·

2·演绎结论

从命题条件出发，通过演绎推理，产生新结论·

例11（2004年全国Ⅲ卷第22题（1））已知函数f（x）= ln（1+x）-x，求函数f（x）的最大值·

本题中，f（x）=ln（1+x）-x的最大值为0，即ln（1+x）≤x对x＞-1恒成立，如做替换x→x+1，则有lnx≤x-1对x＞0恒成立，据此，可编拟：

题1：（2011年湖北卷理（文）第20（21）题（Ⅰ））已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值·

另一方面，ln（1+x）≤x（x＞-1）等价于：

ex≥1+x（x＞-1）（1）·

当x＞-1时，由（1）式知ex≥1+x＞0，从

题2：（2010全国大纲Ⅱ卷理第22题（Ⅰ））设函数f（x）=1-e-x，证明：当x＞-1时，f（x）≥x

另外，（1）式可加强为ex≥1+x（x∈R），从而ex-x≥1，

据此，可编拟：

题3：（2007年辽宁卷第22题）已知函数f（x）=e2x-

以不等式ln（1+x）≤x（x＞-1）为源头，还可以衍生出一大批高考题，限于篇幅，在此不再展开，读者可以参见文3·

3·推广命题

通过由特殊到一般、由具体到抽象的逻辑推理，概括归纳出新问题·

例12（2009年辽宁卷理第6题）设等比数列｛an｝的

从一般性考虑，可编拟：

（2010年安徽卷理第10题）设｛an｝是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（）·

A·X+Z=2YB.Y（Y-X）=Z（Z-X）

C.Y2=XZD·Y（Y-X）=X（Z-X）

七、组合演变

根据所考查知识和方法的需要，将一些较为简单又具有内在联系的命题进行有机的结合，通过相互渗透，重新组合，编拟新题·

例13（1）（2011年陕西卷理第17题（Ⅰ））如图5，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程·

（2）（2011年江苏卷第18题（Ⅲ））如图6，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k·对任意k＞0，求证：PA⊥PB·

图5

图6

本例（1）的实质背景从映射（变换）的角度看，就是在映射f：（x，y）→（x，my）（m＞0且m≠1）下，知原像（x2+y2=下，圆可以拉伸或压缩为椭圆，圆与椭圆可以互变共生）·

本例（2）的结论中蕴含了椭圆的一个重要性质：

将上述两题重新组合，并把（1）中的“过P作x轴的垂线”改为“过P作y轴的垂线”，可导出新题：

（2012年湖北卷理第21题）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1）·当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C·

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标·

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H·是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由·

由此可见，往届高考数学试题是一座值得深入挖掘的数学金矿，其中蕴含的极具教育价值的数学问题，是多年来人类智慧的结晶，成为以后高考命题选材的源泉，这些具有指导性和权威性的高考题，是值得我们数学教育工作者深入研究的·

1·胡成躲，姜官扬·对一道高考试题的拓展性探究［J］·上海中学数学，2011（1-2）·

2·朱贤良·莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜——对一类高考试题本质的追溯［J］·中学数学教学参考（上），2013（6）·

3·方亚斌·ex的幂级数展开式演绎高考题［J］·数学通讯，2012（2）·

4·刘友明·浅谈一类高考解析几何试题的命题途径［J］·中学数学教学，2013（2）·

5·方亚斌·怎样用课本例题和习题编拟初中竞赛题［J］·数学教学，1991（4）·A