☉江苏省天一中学 何志奇

☉江苏省无锡市锡山区教研室姚敬东

·江苏省无锡市何志奇名师工作室·

让思维与能力的翅膀在复习课中飞扬

☉江苏省天一中学 何志奇

☉江苏省无锡市锡山区教研室姚敬东

2015年元月15号，笔者应邀为云南省普洱市的老师与同学开设了一节必修五的“数列”一章的复习课，平生第一次为云南的孩子上课，感慨颇多，记录点滴，与同行一起交流和分享.

一、注重通性通法，给学生留有思维的空间

复习题讲解要注意“变化”.对于复习课例题的选择，应突出教材重点选择具有典型性的题目，能反映教学大纲中最主要的、最基本的要求.在对例题进行分析解答后，应注意发挥例题的示范功能，力求在例题的基础上进一步变化，把平时所学的零散知识“集中装箱”，形成良好的认知结构.对复习课教学，我们应当考虑如何让学生动起来，为他们创造比较多的交流机会.真正让学生动起来，需要教师精心设计教学环节，建构科学的结构，为不同的学生留出层次各异的思维空间，达到最大限度地发展学生能力的目的，这是我们应当重点考虑的问题.

复习时不必拘于环节设计，要关注针对性、随机应变性，以解决问题为主，对学生暴露出来的问题对症下药.因为学生的问题是形形色色的，不以教师意志为转移的，因此预先设计好的环节恐怕与学生当时暴露出来的问题不一致.

片断1：设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm= 0，Sm+1=3，则m=_________.

本题难吗？不难，等差数列中，有三个条件足够了，题目条件正好给出，还有什么难解决的呢？笔者让学生练习这道题，收获是很大的.

点评：属于用基本量法解决问题，学生应该都可以掌握的.

生2：由Sm-1=-2，Sm=0，可得am=2，由Sm+1=3，Sm=0，可得am+1=3，从而d=1，以下同生1的解法.

点评：巧用性质，灵活处理，该方法属于最佳解法.

生3：利用等差数列的前n项和公式Sn=an2+bn，注意到Sm=0，由二次函数图像的对称性，可知函数f（x）=ax2+ bx一定过点（1，-2），（-1，3）.

点评：这类同学具有数形结合的思想，而且始终把数列看成是特殊的函数，因此解决起来就会得心应手，游刃有余.

对于不给学生时间，教师注入式的复习，更是不可取的，教师“一言堂”的复习，虽然表面上教学目的达到了，但实际上没有落实.因为无论基础知识、基本技能、思想方法、能力培养都必须经过学生亲身实践和体验，才能领会和理解，光靠教师的讲授、归纳提升，并不能落到实处.

二、注重例题的透彻解析，深化学生的思维层次

解题思路要注意“优化”.在复习中，必须注意题目解法的多样性，善于比较、提炼出最佳解法，从而达到优化解题思路的目的.这种复习，在活跃学生思维的同时，也让学生在解答的过程中充分体验到成功的愉悦，从而培养了复习数学的兴趣.习题归类要注意“类化”.在复习中，教师要善于引导学生将习题分类归档，并集中力量解决同类题中的本质问题，总结出解决这类问题的方法和规律，真正让学生跳出“题海”.通过一系列的归类训练，学生便能把解题的方法从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三、触类旁通的效果.运用知识要注意“深化”.学习的目的在于应用，数学教学必须要联系生活实际，培养学生能够运用数学知识解决简单的实际问题，在复习中，应有目的地精选一些与所学数学知识联系密切的实际问题，使学生在解答过程中受到学以致用的良好熏陶，从而达到运用知识的“深化”.

片断2：已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=_________.

生5：因为S2=a1+a2=2S1，所以a2=1；因为S3=S1+S2=3，所以a3=1；因为S4=S1+S3=4，所以a4=1，……同理，a10=1.

总结：由特殊到一般.

生6：取m=1，则有Sn+S1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=S1=a1=1，可知数列｛Sn｝是以S1为首项，公差为1的等差数列.所以Sn= S1+（n-1）d=1+（n-1）=n，故a10=S10-S9=10-9=1.

总结：由特殊到一般，再到特殊.

生7：取m=1，n=9，得S9+S1=S10，所以a10=S10-S9=S1=a1=1.

总结：特例开路，多思少算，注重思维.

三、注重方法能力的培养，让学生的个性化思维得到彰显

对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的观察、猜测、抽象、概括、证明，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.复习课要更加侧重于能力和思维，使通过死记硬背、题海战术等方式获取高分将越来越困难.这也是推行素质教育，减轻学生负担的一种体现，其背后的教育目的是更加注重培养学生个性化的思维能力、自己解决问题的能力.通过新题型的变化，逐步淘汰被人长久诟病的“填鸭式”教学.当然，传统的教学还不能一棒子打死，在没有找到一种能够广泛引导、训练学生这种思维能力、自己解决问题的能力之前，当前数学教学方面，题海战术还是有一定的生存空间.笔者认为，既然暂时不能抛弃这种教学，但在日常教学中留给一定的时间，引导学生多思考、多交流，少些埋头蛮干，是能逐步适应高考课改的.

片断3：数列｛an｝是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=_________.

师：大家对这道题先思考，然后与周围的同学交流一下自己的想法.

生8：因为数列｛an｝是等差数列，所以利用an=a1+（n-1）d，使得a3、a5都用a1与d来表示，根据a1+1，a3+3，a5+5成公比的关系式（a3+3）2=（a1-1）（a5-5），求出a1与d，代入a3+ 3，a5-5得出q的值.

师：非常好.利用基本元：首项与公差，解决公比q.有没有对这个解法有新的认识？

生9：我的想法是把a1用a3-2d、a5用a3+2d来表达，利用a3-2d-1，a3+3，a3-2d+5成公比，先求出a3，……

师：有没有更好的解法，来优化上面这些同学的解法？老师提示一下，大家想一想，如果一个数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列肯定是一个特殊的数列，请问：特殊在哪里？你能否举一个例子？

生10：1，2，3……

师：它是等比数列吗？不要紧张，没有想好？没有关系，慢慢想，后面的女生，您说说看呢？

生11：an=1，就是1，1，……

师：非常好，很优秀.还有吗？

生12：2，2，2，……

师：很好，不错.

生13：a，a，a，……

师：非常好！您比前面的同学回答的更一般化了，大家明白了吗？这道题应该很容易解决了，q是多少？（众答：q=1）正确，q=1，a1+1，a3+3，a5+5很明显既是等差数列又是等比数列.不动笔动动脑就拿下了.因此，拿到一个题目，从解题的大框架着手，怎么想解题思路很重要.本题给你这样一个强烈的印象：复习时，拿到题目不要马上去做，先要想一想怎么思考，如何优化自己的解法.

让学生讲并不是把课堂完全交给学生，学生只是一个环节一种方式，学生的讲解往往带有片面和不简洁的特点，老师先要对学生的讲解进行铺垫，让听的学生做好准备，中间还要针对听的学生可能产生的问题适时对讲解的学生进行提问和提示，或允许听众进行提问，最后还要组织总结和点评.这样听的学生是从自己的角度去听，听得细，听得明白，讲的同学也会有所收获.

这点实际上要注意的是，只有在前面着力引导学生对自己的学习情况有一个比较清楚的把握的基础上，引起他们对自己的知识缺失点或困惑点的足够重视，学生讲也好，老师讲也好，这样他们才会有共同学习的兴趣，才会有效果.学生讲的是他自己对学习这一点知识的经验体会和方法，讲的是一个小点，一个可以启发大家，供大家学习的地方；或者是讲自己的困惑，这样以引起有共同问题的同学的注意.

部分老师在提问时多数时候是让优秀生讲，时间长了，其他学生会认为这件事与自己无关，也就没有参与的热情了，对于借班上课的老师来说一般是不存在这样的问题的.

四、注重数学素养的提高，培养学生的逻辑推理与计算能力

我们在数学复习时，除抓好知识、题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式、机会提高和规范学生的运算能力和逻辑推理等能力.细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误.计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力.可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在.并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当大的比例.

片断4：甲、乙两厂2013年元月份的产值相等，甲厂产值逐月增加，且每月增加的产值相同，乙厂产值也逐月增加，且每月增加产值与上月产值的百分比相同，若2014年元月份甲、乙两厂的产值又相等，则2013年7月份甲、乙两厂产值的大小关系是_________.

生14：由题意可知甲、乙两厂的月产值分别构成等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝，且a1=b1及a13=a1+12d=b13=b1q12，a7＞b7.

生15：由上述方法知an=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，bn=a1qn-1是关于n的指数型函数，由图1可知，当1＜n＜13，均有an＞bn，显然，结论很明白了.

复习课内容的重点永远是基础.要通过对基础题的系统训练和规范训练，准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通性、通法.复习一定要做到细且实，切不可因轻重不分而出现“前紧后松，前松后紧”的现象，也不可因赶进度而出现“点到为止，草草了事”的情况，只有真正实现让思维在碰撞中激发，实施自主学习，才能真正达到复习的目的.F

图1