☉江苏省如东县掘港高级中学 钱雨森

过程重于结果，思维精益求精
——一道导数综合题的课堂思维导引

☉江苏省如东县掘港高级中学 钱雨森

导数与函数综合问题，在历年各省市的高考命题中常以把关题或压轴题的形式出现，对同学们分析问题与解决问题的能力提出了较高的要求.同样一道题目，面对不同的解题对象，有的解法繁，有的解法简，有的草纸遍地，有的一望而答，有的顺利求解，有的半途而废.可见问题的分析过程至关重要.本文以一道导数综合题为例，谈谈数学思维过程的优化.

一、问题引出

导数法是研究函数性质问题的有力工具，导数的引入使函数的单调性、最值、极值、零点等问题的解答实现了程序化的处理.前面我们已经学习了利用导数法求含参函数的单调区间，那么反过来，如果已知含参函数在某区间上单调，让我们求参数的范围，应如何处理？

题目已知函数f（x）=（2ax-x2）eax，其中a为常数，且a≥0.

（1）略；

本题综合性强，思维含量高，对同学们的数学基本功提出了更高的要求，要完整顺利地解答本题，不仅需要我们具有锲而不舍的精神和顽强的毅力，还需要具有较强的运算推理能力和探索创造精神.请同学们思考后，给出解答方法.

二、问题探究

思考几分钟后，教师请有思路的同学回答.

生1：我们也可以先求单调区间，再将所给的范围置于相应单调区间内，通过解不等式求解参数的范围.

师：思维直接，衔接前后，具体如何操作？

生1：求导得f′（x）=［-ax2+（2a2-2）x+2a］eax，令f′（x）= 0，即-ax2+（2a2-2）x+2a=0，利用求根公式得……

师：将问题转化为无理不等式求解，思路可行，但实际操作过程中难度较高.能否转变一下思维？

生2：利用导函数在某区间上的正负符号，可得函数在该区间上的增减性，反之，若已知函数在某区间上的增减性，也可得到导函数在该区间的正负，将问题转化为该区间内不等式恒成立问题求解.

师：思维更上一层楼，但导函数的零点不易求，不等式如何解？

生3：不一定直接求零点，前面我们学习过二次函数零点分布问题，结合二次函数的对称轴，讨论所给区间与零点的关系.

师：非常好，将陌生问题转化我们所熟悉的问题求解.继续.

生3：当a=0时，f′（x）=-2x，显然f′（x）≤0对任意x∈恒成立.

当a＞0时，易知判别式Δ=（2a2-2）2+8a2＞0恒成立，故二次函数g（x）=ax2-（2a2-2）x-2a有两个零点.

师：至此问题得到解决，我们再审视一下，在问题的求解中仍需要求解无理不等式，对此能否进一步优化？

生4：可通过讨论对称轴的正负，来避免解答无理不等式.

当a＞0时，令h（x）=ax2-（2a2-2）x-2a，则函数h（x）的图像的对称轴为直线

师：还有没有其他解法？

猫眼女人看着他。她用指头沾点地上的血，举到鼻子上闻了闻。她明白了什么。她说那你等着吧，我叫人送钱来！猫眼女人打个电话，一辆黑色的奔驰商务车开过来，嘎地一声在他跟前停下。车上下来几个穿黑衣黑裤手里拎钢管的大汉，揪着大福的脖领子问那疼。大福手指指腰，钢管就砸到腰上；大福手指指腿，钢管就砸到腿上。直砸得他浑身青肿，跪在地上求饶才罢手。

生5：对于不等式恒成立问题，如果能实现参数分离，可考虑用分离参数法求解！可是不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0中的a却不能分离出来.

师：当参数不能单独分离时，应如何考虑？

生6：可考虑参数整体分离.

当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax2-（2a2-2）x-2a≥0.

师：本题的解答需要同学们具备顽强的品质，并保持思路清晰，目标明确，及时变通，方法得当，才能顺利得解.成功地解答一道题目，我们不应满足于此，而应对相关的问题进行多角度变式探究，这样既可以锻炼我们的解题思维，又能培养解题能力.

变式1：已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.

（1）略；

生7：题意等价于导函数f′（x）=3x2+2ax+1≤0对任意恒成立，即二次方程f（′x）=0的两根中，一根小于或等于，一根大于或等于

变式2：设函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.

（1）略；

生8：f′（x）=3x2+2ax+1，将问题转化为f′（x）在区间）内有零点.

则问题转化为如下四种形式.

图1

图2

图3

图4

列出不等式组求解：

生9：利用命题的否定，求参数的范围，再运用补集思想求出答案.

综上，每种方法的适用性可能有所局限，在不同特征的题型中应选取不同的方法，各种方法又不是相互独立的，往往需互相结合使用，切不可被所谓方法局限思维，这也是学习数学的大忌.因此，平时的教学和复习中，要进一步加强思想方法的教学，培养学生的数学意识，提高学生分析问题、解决问题的能力，加强推理探索的教学，培养学生勇往直前的顽强品质，提高学生思维的灵活性和创造性.A