☉江苏省南京市第二十九中学 张云飞

·南京市张云飞名师工作室·

追问中深入探究中升华

☉江苏省南京市第二十九中学 张云飞

《高中数学课程标准》对教材编写要求：教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉．教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程．编写教材时，可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解．笔者认为，这不仅是对教材编写的要求，更是对数学教师的要求，更是对数学课堂教学的要求．

波利亚曾说过“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”．

题目：在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=4，直线l：x=4，圆O与x轴相交于点A、B（如图）．点P为圆O上任一点（异于点A、B），直线AP与l相交于点C．如设直线BP、BC的斜率分别为kBP、kBC，试证：kBP·kBC为定值．

以下记录的是笔者和学生的探究过程．

一、定值是什么

定值问题是中学数学中较为富有挑战性和趣味性的问题，寻找变化中的不变性是人类了解自然、认识自然并运用自然的目的之一．定值问题中的定值是变化中不变的值，可通过特殊化寻求．如：当点P为圆与y轴的交点时，易得kBP=－1，kBC=3，从而有kBP·kBC=－3．

知道了定值为－3后，如何证明对于圆O上任一点P，都有kBP·kBC=－3？

二、选择谁为主动点

题目中有两个动点．由题意知：当点P变化时，点C随之而变化，当点P确定时，点C随之而确定．反之亦然．也就是说，点P的坐标确定时，点C的坐标也随之确定．反之亦然．

选谁作为主动点？

分析：如设点P为主动点，则点P的纵、横坐标都在变，也就是说，如选点P为主动点，则有两个变量．如选点C为主动点，注意到点C的横坐标为4，则只有一个变量．如从变量的个数来看，选择点C为主动点似乎比选择点P方便一些．

果真如此吗？

方法1：设点C的坐标为（4，h）.

得：

消去y并整理得：

探究反思：本来以为选择点C为主动点似乎比选择点P方便一些，但从以上方法1与方法2的实际解题过程来看，选择点P为主动点比选择点C更方便些．

这是为什么呢？（分析解题过程是提高解题能力最有力的举措之一）

同学们通过分析方法1与方法2，发现：方法1之所以繁一些，是因为方法1首先要解一个一元二次方程（**），并求点P的坐标；其次，化简kBP的过程比较繁．而方法2则利用设而不求、整体代换的思想简化了解题过程．

三、方法1中的解方程组是必要的吗

如前所述，方法1之所以比方法2繁一些，是因为方法1要解一个一元二次方程．那么，方法1中的解方程组的过程是必要的吗？也就是说，在方法1中能不解方程吗？（产生求简的意识是达到求简目的的先导）

还是分析方法1的解题过程．

解方程（组）的目的是为了用参数h去表示点P的坐标，进而用h表示kBP．同学们发现：用h表示kBP的过程是烦琐的，但用h表示kBP的结果却是简洁的：kBP=－

之所以能由烦琐到简洁，是因为在这个过程中有了抵消或约去．

有了抵消或约去就有优化的可能．

如何优化呢？

反思：当把点C作为主动点时，只要用点C的坐标去表示点P的坐标，进而用点C的坐标表示kBP、kBC．但要用点C的坐标去表示kBP、kBC，是否一定要解方程（组）？从上面的方法3知道：这些都不是必要的．但在日常的课堂教学中，当把点C作为主动点时，总是不假思索地甚至认为是天经地义地去解方程（组），这是长期思维定势的影响，这是思维肤浅的表现．误把“只要”当“必要”！

四、问题的进一步思考

从方法3不难发现：kBP·kBC之所以为定值，是因为kBP和kBC之间有一种倒数型的关系，而这种倒数型的关系，确保了当h变化时，也就是点P变化时，乘积kBP·kBC中的h被约掉了，也就是说乘积kBP·kBC不随点P的变化而变化（kBP和kBC之间的倒数型关系是这类问题的本质之所在）．

特别地，当m=4时，kB·PkBC=－3，也就是原题中的定值．当m=1时，kBP·kBC=3，此时直线l：x=1与圆O：x2+y2=4相交．

一般地，当m＜－2或m＞2，即直线l：x=m与圆O：x2+y2=4相离时，kB·PkBC为定值，是一个负数；

当－2＜m＜2时，也就是当直线l：x=m与圆O：x2+y2=4相交时，kB·PkBC为定值，是一个正数；

当m=－2或m=2时，直线l：x=m与圆O：x2+y2=4相切，但m=－2时kB·PkBC=0，而m=2时，kB·PkBC则不存在．

显然，圆O：x2+y2=4的方程可一般化成x2+y2=a2，从而得到如下的一般化命题.

命题1：在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=a2，直线l：x=m（m≠a）．设圆O与x轴相交于点A、B（如图）．点P为圆O上任一点（异于点A、B），直线AP与l相交于点C．如记直线BP、BC的斜率分别为kBP、kBC，则有

求解定值问题的途径之一是努力创造或构造有关倒数型条件将参变量约掉，或者是努力创造或构造有关相反数型条件将参变量抵消掉．也就是说，在定值问题中，一般可以努力创设与参变量无关的情景，运用无关思想，以实现求解定值问题的目的．

五、问题的更进一步的思考

kBP和kBC之间之所以有倒数型的关系，是因为线段AB是圆O的直径，而直径所对的圆周角为直角，从而进一步地才有了kBP·kBC为定值．弄清了这层关系以后，联想到椭圆和双曲线中的相关定值，则易得椭圆和双曲线中类似的定值问题．

六、一点感想

数学探究无处不在，关键在于师生有无探究的意识，是否养成了探究的习惯．探究不必那么“高，大，上”，只要有心，无疑处生疑，凡事都问一个为什么，处处有探究．比如，上面的方程（**）是如何解的？是用求根法还是因式分解法？

用求根法还是用因式分解法不仅有繁简的差别，更有思维的差异．

数学教学的重要任务之一就是培养学生的思维能力．思维能力如何培养？在具体的课堂教学中，在解决具体问题的步骤中，在对具体问题的追问中．

如用求根法，较繁，只要有一定的运算能力即可．如用因式分解法，较简，不是仅仅只有一定的运算能力就行的．要得到因式分解法，需具备一定的观察能力、数形结合的能力等．

直线AP与圆O相交于点A，表明方程（**）有解x1=－2，从而由韦达定理易知方程（**）有另一也就是说，直线AP与圆O相交于点A，容易得到方程（**）的因式分解的解法．

再比如说，解方程组（*）时，为什么是消去y，而不是消去x？

从理论上来讲，消去y还是消去x是对等的，但由于思维定势的影响，一般地，总是习惯性地消去y．对于本题，如消去x，可能更好一些．

事实上，消去x，得：

（36+h2）y2－24hy=0（***）.

这个关于y的一元二次方程（***）比关于x的一元二次方程（**）就要易解得多了．

又比如，kBP的表达来比较庞大，比较吓人，为什么一化变得那么简单了呢？这其中有没有什么规律？

只要我们的数学教学能在无疑处生疑，有疑释疑，不存一疑，学生的探究能力、思维能力定会潜移默化地、润物细无声地得到提升．

1．吴新建．让探究成为数学课堂的“常态”［J］．数学通报，2015（2）．

2．刘美良．探究激活思维智慧演绎精彩——由一道高考解析几何试题引发的探究［J］．中学数学（上），2014（10）．

3．崔绪春．对一节发现教学法课例的思考与再认识［J］．中学数学（上），2014（12）．A