☉广东省广州市海珠区教育发展中心 王桂芹

高中概念课中数学思想方法教学的案例研究*

☉广东省广州市海珠区教育发展中心 王桂芹

一、问题的提出

数学是用概念思维的科学，概念是数学大厦的基石．从教学过程看，概念教学是发现、获取数学研究对象，认识数学对象的抽象、精致、实践应用的过程；从学生的认知角度看，概念是学生获得数学知识的源泉，是提高数学品质和数学能力的基础和前提．因而，概念教学是整个数学教学成败的关键，是数学教学的重中之重．

数学概念和数学思想方法都属于数学基础知识的范畴．数学概念反映了一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是具体性与抽象性的辩证统一，具有很强的系统性；数学思想方法蕴含在数学知识的体系之中，是隐性的，并没有明确地揭示和总结．而数学概念的特点决定了数学概念的形成或同化都要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，也即大量概念形成和应用的背后都蕴含着函数、分类、化归、数形结合、符号化等数学思想方法的运用．因而，概念教学中怎样进行数学思想方法的教学，运用的是否到位，对学生能否融会贯通地把握概念、运用概念具有关键的作用．

《普通高中数学课程标准》也明确指出：要让学生了解数学概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法以及它们在后续学习中的作用．然而，在教学实践中，由于各种原因，部分教师对概念教学的研究和重视不够，对数学思想方法的教育价值的认识还不够，还没有思考、探索、实践过或只是零星地思考、探索、实践过数学思想方法在教学中的应用．本文旨在以典型案例谈谈概念形成教学模式中如何挖掘和应用数学思想与方法．

二、数学概念获得的形式及数学思想方法的渗透和运用

学生理解和掌握概念的过程是掌握同类事物的共同、关键属性的过程．同类事物的共同、关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中发现，这种概念获得的方式叫概念形成；也可以用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的相关知识理解新概念，这种概念获得的方式叫概念同化．概念形成和概念同化是两种基本的概念获得模式．无论是概念形成还是概念同化，都需要经历以下几个环节：（1）从一些具体事例中区分本质属性和非本质属性，并将共同的本质属性归纳、概括形成概念的定义；（2）通过概念的正、反例证，明确概念的内涵与外延；（3）将新、旧概念联系与分化，形成概念体系；（4）概念的应用．

本文主要论及概念形成教学模式中在环节（1）和（2）中如何挖掘和运用数学思想与方法．

案例1：数系的扩充和复数的引入.

师：同学们，我们已经学习了哪些数集？请同学们按数集产生的先后顺序回答．

生：自然数集→整数集→有理数集→实数集．

（教师也随着学生的回答画出了这几个集合之间的包含关系图）

师：同学们回顾数的产生过程，当初，人们只认识自然数，但在刻画相反意义的量与进行5－8这样的计算时，产生了矛盾，怎么办？

生：创造负数就解决了这个矛盾．

师：数集就由自然数集N扩充到整数集Z.但在计算5÷8时，又遇到了新的矛盾，在整数集Z内不能实施，怎么办？

生：创造分数，使数集由整数集Z扩充到有理数集Q，也就解决了这个矛盾.

师：好！那么腰长为1的等腰直角三角形的斜边长在有理数集Q内不存在怎么办？

生：再创造无理数集！

师：创造无理数集，绝不是我们想象的那么容易！数学史上每一次进步都要经过一个漫长的历史阶段甚至是新、旧两派势力的殊死较量，但是数学还是在危机中不断前进，不断丰富.公元前5世纪，希腊的数学非常发达，其中毕达哥拉斯学派的研究成果最丰富，该学派学说中最著名的是勾股定理，他们还发现了三角形数（1，3，6，10，…），四边形数（1，4，9，16，…）等.但由于他们的结论大都是凭着直觉经验和实测得出的，难免会有错误的结论.当时毕达哥拉斯学派经过实测就得出一个错误的结论：“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数的比.”即一切现象都可以用有理数去描述.毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯通过逻辑推演发现：等腰直角三角形的斜边长就不能用有理数来描述，这就推翻了毕达哥拉斯学派信奉的信条，也即发现了无理数的存在，但他不仅没有获得赞赏，反而因此丧失了生命.相传当时他和毕氏学派的信徒们在一条船上游玩，当希伯索斯向大家讲述他的重大发现后，信徒们认为他的言论违背了至高无上的信条，就把他抛入海中淹死了.

生：感慨万千！

师：但真理是不可战胜的，希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步证明了等腰直角三角形的斜边长不能用有理数表示，并严格证明了是一个无理数，有理数集Q终于扩充发展到实数集R.所以每一条真理的发现都不是一蹴而就的，都需要时间甚至生命！其中问题是事物发展的根本动力.

师：在实数集内还有什么不能解决的问题？

生：我们见过在实数集内无解的方程，如：x2+1=0.

师：很棒！x2+1=0即x2=-1，显然在实数集内无法解这个方程，怎么办？

生：像前面一样创造一个新数集，在这个新数集中能解实数集中不能解的方程.

师：“像前面一样”，这里用了什么样的思维方法？

生：类比.

师：很好！

师：具体一点，怎样能使方程x2=-1在这个新数集内有解呢？

生：在实数集R外创造一个新数，使它的平方等于-1.

师：太棒了！经过许多数学家的共同努力，创造出一个新数i，并规定i2=-1.这个新数i就叫做虚数单位，除了有i2=-1外，它还能与实数进行四则运算，且满足原有的运算律.

评析1：教师在引领学生回顾数的发展史的过程中渗透了数学的科学价值、应用价值和文化价值，渗透了数学创新与发现的常用思想方法——类比的数学思想.

师：请大家写出虚数单位i与实数2进行四则运算的式子.

师：从以上虚数单位i与实数2进行加、减、乘运算的结果可看作：2+i=2+1·i，2-i=2+（-1）·i，2×i=0+2·i，可得出这三个式子可以概括写成一个什么形式的式子？

生：a+bi？

师：再严谨一点，a、b是什么数？i是什么数？

生：a、b是实数？i是刚学过的虚数单位.

生：有点儿困难，分母上的i怎么化呢？

师：推广到一般，a与bi（a、b∈R）进行四则运算也可写成a+bi（a、b∈R）的形式吗？

生：能！

师：所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C=｛a+bi|a、b∈R｝，我们称它为复数集.

师：在复数集引入的过程中，我们都应用了哪些数学思想方法？

生：归纳的思想

师：怎么归纳的？

生：从特殊到一般.

师：很好！类比、从特殊到一般、归纳概括是数学发现常用的思想方法，在数学学习过程中，同学们要学会用这些思想方法发现问题、解决问题.

评析2：在引入复数集的过程中充分渗透、明确运用了类比、从特殊到一般、抽象与概括的数学思想方法．

案例2：椭圆定义的形成.

师：2007年10月24日，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空，实现了中国人千年的探月之梦．

（师生共同观察“嫦娥一号”的运行轨道）

师：“嫦娥一号”的运行轨道是圆吗？

生：不是．

师：那是什么图形？

生：椭圆．

师：请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔来做一个实验，把细绳的两端都固定在硬纸板的同一点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖．

师：这时画出的轨迹是什么？

生：是一个圆．

师：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在硬纸板的两点处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，同学们观察，画出来的轨迹是什么曲线？

生：椭圆.

（教师用多媒体演示画椭圆的过程）

师：圆的定义是：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，类比圆的定义，观察椭圆的形成过程，笔尖表示动点，硬纸板上固定的两点是定点，笔尖即动点在形成椭圆过程中，什么因素在变？什么因素不变？

生：笔尖在动，笔尖到两定点的距离分别在变.

师：好！什么不变？

生：笔尖到两定点的距离之和始终不变.

师：太好了！在这里你运用了什么数学思想方法？

生：数形结合！

师：数在哪里？形在哪里？

生：我把那些变与不变的因素看成数，笔尖画出的椭圆看成形．

师：好！还运用了什么数学思想方法？

（生迷惑，摇头）

师：你用硬纸板、细绳、铅笔做了一个实验，你的结论是不是通过实验观察出来的？

生：是.

师：实验与观察也是一种重要的数学思想方法．

师：同学们能不能类比圆的定义给椭圆下一个定义？

生：平面内到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆.

师：很好！但是我们感觉椭圆比圆复杂一些，好像不那么简单，观察实验，如果笔尖到两定点的距离恰巧等于绳长，笔尖的运动轨迹如何？

生：两定点之间的线段.

师：如果笔尖到两定点的距离小于绳长，笔尖的运动轨迹如何？

生：无轨迹呀！

师：好！那么怎么完善椭圆的定义？

生：平面内到两定点的距离之和大于两定点之间的距离且等于定值的点的轨迹叫做椭圆.

师：上面椭圆定义的叙述好像有点儿拗口，如果我们把这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，数学中要想把定义说的简洁、准确，就要引入符号表述，要引入符号表示其中的哪些重要要素？

生：焦点，动点！

师：我们用F1、F2分别表示两个焦点，定值用常数来表述，怎么叙述？

生：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数且这个常数大于两定点之间的距离|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆.

师：我修正、补充一下：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

生：老师说的确实更简洁、更完善！

师：在数学中引入符号可以使表述更加简洁、深刻，也是把一般问题数学化的必经之路，这就是符号化的思想．

师：回顾一下，在椭圆定义的形成过程中运用了哪些数学思想方法？

生：实验与观察、概括与抽象、数形结合、符号化.

师：在讨论平面内的动点到两定点的距离之和等于、大于、小于定值时的轨迹时，还运用了什么数学思想方法？

生：分类讨论？

师：很好！

评析3：本案例在实验的基础上，通过教师适时的引导，生生、师生间的交流互动，使学生通过观察、分析、反思、纠正，不断完善、形成了椭圆的概念．教学过程渗透、明确运用了实验与观察、概括与抽象、数形结合、分类与讨论以及符号化的数学思想方法．

三、高中概念课中数学思想方法教学的内容与原则

1．高中概念课中数学思想方法教学的内容

（1）将教材概念课中隐含的数学思想方法挖掘出来，使其显性化．

（2）在教学活动中充分地、明确地渗透和运用数学思想方法，使学生能从数学思想方法的高度把握概念，理解数学，用数学思想方法的策略分析问题、解决问题．

2．高中概念课中数学思想方法教学的基本原则

（1）有意识及同步性原则．

首先，数学基础知识是指数学中的明确知识即概念、性质、法则、公式、公理、定理及由其内容反映出的隐含知识即数学思想方法，由此，数学思想方法纳入了“基础知识”的范畴．一方面，数学思想方法不能离开数学的明确知识而独立存在．另一方面，在数学明确知识的掌握中，只有掌握了数学思想方法才能真正达到融会贯通．因此，要让学生扎实掌握“基础知识”，必须有意识地进行数学思想方法的教学．其次，在长期的教学实践活动中，人们总结了大量行之有效的数学思想方法，并且已经成为人们从事数学研究与学习的一般规则，但是这些“规则”却不能离开数学实践而独立存在，也不可能自发产生，只有它们被有意识地整合到具体的数学实践活动中去才能真正地发挥作用，即数学思想方法这种隐含的知识必须有意识与明确知识的教学同步进行，否则将失去数学思想方法教学的有效时机，学生能力的锤练与提高也将无从谈起．

（2）渗透性与明确性相结合的原则．

在明确知识教学中，通过精心设计学习情境与教学过程，有意识地引导学生领会蕴含在其中的数学思想，使他们在潜移默化中达到理解和掌握．如在案例1中，教师自然地渗透、运用了类比、特殊与一般、归纳与概括等数学思想方法．但是从数学思想方法教学的整个过程来看，只有长期、反复、不明确的渗透会影响学生对数学思想方法的认识从感性到理性的飞跃，会妨碍学生有意识地去掌握和领会，因而，很多情况下要通过不同的教学策略，如告知学生，提问学生，引导学生反思、总结等，明确数学思想方法在教学实践中的运用．在以上两个案例中的很多环节，都将隐性的数学思想方法加以明确化，从而让学生熟知重要的思想方法的专业名词，在应用中感知名词所代表的内涵与方法，进而在提出问题、解决问题中从大脑中选择、提取数学思想方法的有关信息，让学生既会用又能表达出用的什么思想、什么方法，既能意会又能言传，这不仅非常有利于学生对“基础知识”的掌握，也能真正提高学生的数学思维品质．

渗透性和明确性是数学思想方法教学辩证的两个方面，渗透是基础，没有渗透就谈不上明确的效果，明确的效果也会大打折扣，而明确为学生熟练掌握、灵活运用数学思想方法并且转化为能力插上了翅膀．

（3）长期性和反复性原则．

数学思想方法的获得并不是学生对所学知识的简单认同，这是一个复杂的理解过程，是一个内在的、主动的参与过程．在这个过程中，学生自己的直接感受、个体体验的积累是非常重要的．学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的认识规律．因此，数学思想方法的教学必须遵守长期性和反复性的原则．如在以上案例2中体现了数形结合的思想方法，学生一般也都知道“数形结合思想”，但是不少学生知道这个思想后，却不能实现自如的数形转换，这需要教师结合具体的教学内容，有意识地安排和教学，使学生在长期的教学活动中反复地实践和应用，直到实现了完全个性化的理解才能达到“数形结合”思想方法的应用自如．

（4）系统性原则．

一方面，数学思想方法是有层次性的，从最低层次的“解题术”到最高层次的数学观念，是一个由高到低，由解决问题的具体方法到认识世界的哲学思想的内涵丰富的系统．另一方面，一种数学思想方法，概括了一类数学方法，串联了一些具体数学知识，也形成了自身的体系．因此数学思想方法的教学与明确知识的教学一样，必须形成具有一定结构的系统，才能更好地为学生理解和掌握，更好地发挥其整体功能．

总之，数学思想方法的教学应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实明确性、长期性和反复性、系统性的原则，它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的原则思想．

1.曹才翰，章建跃．数学教育心理学［M］．北京：北京师范大学出版社，2007.A

*本文系广州市教育科学“十二五”规划第一批面上一般课题“高中数学思想方法教学的案例研究”（课题批准号：11C022）的研究成果之一．