☉福建省龙岩第一中学 庄炯林

螺旋探究自然呈现*
——任意角的三角函数的教学设计

☉福建省龙岩第一中学 庄炯林

一、教材分析

本节课的内容是三角函数这一章的基础，主要通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，从而得出定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，为接下来课程中自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图像和性质，并从中体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用.三角函数定义是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.

二、教学目标

（1）知识与技能：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

（2）过程与方法：通过单位圆和角的终边的交点坐标关系，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义.

（3）情感态度与价值观：利用三角函数的几何表示，使学生加深对数形结合思想的应用和理解，拓展思维空间.通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，加深对化归与转化思想的应用和理解，从中感悟数学概念的严谨性与科学性.

三、教学设计

1.创设情境，揭示课题

生活中的数学：唐朝诗人王之涣留给后人的佳作《登鹳雀楼》不仅刻画了祖国的壮丽山河，而且写出了登高望远的襟怀，其中一句“欲穷千里目，更上一层楼”揭示了“只有站得高，才能看得远”这一生活哲理，成为不朽名句.如果从数学角度推理，以自己为中心要看到千里内（方圆五百千米）的景物，应登多少层楼呢？

设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，利用锐角三角函数的定义解决生活中的数学问题，进行必要的启发.通过此案例我们知道可以利用三角函数的知识来解决测量学问题，因此解决任意角的三角函数就至关重要.

2.螺旋探究，寻觅新知

教师：锐角的三角函数问题我们可以在直角三角形中解决，现在高中阶段我们将角推广到了任意角，若是大于90°，显然已经不能在直角三角形中完成，那么问题来了——“任意角的三角函数怎么确定？”

学生1：应该再找一个新定义，来规定任意角的三角函数.

学生2：若能将大于90°的角转化为（0，90°）内的角，这样就可以用锐角的三角函数.

教师：两位同学从不同角度思考，一个是想利用“新知”，一个想利用“旧识”，现在我们对任意角的三角函数还停留在未知中，显然对角的转化还未能实现，因此，重新找到一种“新”的三角函数定义就迫在眉睫.为了实现这个定义探究，我们来看以下几个问题.

教师：学了任意角，那么在任意角这节课中，与之前学的角的认识有何不同？

学生3：角有正角也有负角.

学生4：角的形成是由边旋转得到的.

学生5：终边相同的角可以表示为｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝.

学生6：当角放在半径为1的圆中时，弧长可以表示该弧所对的圆心角的弧度数.

学生7：角的终边是绕着原点做周而复始的圆周运动.

教师：这些都是任意角特有的“新知”，角的终边这种周而复始的运动，可以用怎样的数学式子来表示呢？为了解决这个问题，我们做以下探究，在直角坐标系中画一个任意角（第一象限角），先取该角为锐角的时候，这样就可以利用初中所学概念得到数量（角度）与数量（边的比值）的变化关系，可在终边上任取一点P（xP，yP），过点P作x轴的垂线交x轴于点M，

如图1所示，根据三角形的相似性，可得比值的不变性，当r= |OP|=1（引入单位圆的概念：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆），此时sinα=

图1

教师：①与②有什么不同？

学生8：除了用边长的比值表示三角函数外，还可以用坐标或坐标的比值来刻画三角函数.

教师：此时②中的三个式子是否表示函数关系？若是，可否用高中对函数的定义加以说明；若不是，请说明理由.

教师：学生10很好地从高中学习的函数概念来解释了这三个式子都是函数，说得非常好！（学生鼓掌）

设计意图：此处做法虽简单，但思想重要.为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形.由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.

3.类比旧知，呈现概念

教师：若终边在其他象限呢？发现直角三角形不见了，用边的比值无法定义三角函数，但不管终边在哪一象限，其终边上的点（与单位圆的交点）仍然存在.也就是说，当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边、邻边、斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够算出三角函数值.

综上分析，可得任意角的三角函数定义：

如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；

②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；

图2

教师：任意角三角函数是继必修1学了指数函数、对数函数、幂函数后的又一初等函数，其中定义域是什么？

学生11：sinα=y与cosα=x中的任意角α都有坐标与之对应，其定义域应为R，不能落在y轴上得其定

设计意图：学生对初中函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上递进一个层次，扣准高中函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，这是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做能够使学生有效地增强函数观念.

教师：你能对初中的三角函数概念与高中的三角函数概念做一个差异比较吗？

图3

学生12：两种表示都是函数关系式，不同之处，高中的三角函数是将任意角放在单位圆中，用终边与单位圆的交点坐标来定义三角函数；初中的三角函数是将锐角放在直角三角形中，用边的比值来得到三角函数，高中的定义是初中的推广.

教师：很好！用坐标刻画是它们最大的不同，所以今后要得到任意角的三角函数，实质就是确定终边与单位圆的交点坐标.

设计意图：做一个小结，将初中的定义与高中的新规做个比较，让学生更深刻理解任意角的三角函数值是由终边上的点的坐标来确定.

4.学以致用，巩固深化

例1求下列三角函数值：

变式：如果角α的正弦值sinα=-1，你能写出其中一个角吗？

解答过程略.

例2不求值，确定下列三角函数值的符号：

解答过程略.

变式1：已知角α的终边过点P（-3，-4），求角α的正弦值、余弦值、正切值.

解答过程略.

变式2：已知角α的终边过点P（-3a，-4a），a≠0，求角α的正弦值、余弦值、正切值.（留课后思考题）

设计意图：为了学以致用，也为了加强新定义的理解，帮助学生巩固三角函数的本质特征，设计例题及适量的变式，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿于课堂教学始终.其中，例1，在理解定义的基础上，初现概念的掌握；例2，可以归纳出角所在的象限与三角函数值的符号关系，让学生进一步深化三角函数与终边上点的坐标的关联；例3，体现定义理解的细节，按定义，若用坐标表示三角函数须是终边与单位圆的交点，但是，若非单位圆上的点时，又如何合理转化？进一步揭示与定义不符时的处理方法.

5.归纳整理，强化认知

通过本节课的学习，谈谈对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？

（学生回答，教师整理）

（1）三个目标：利用单位圆与角α终边的交点来定义任意角的三角函数；利用角α终边上点在直角坐标系中的位置，来确定三角函数的定义域；利用角α终边上的点在直角坐标系的象限来确定三角函数值的符号.

（2）两个思想：数形结合思想、化归与转化思想.

（3）一个方法：类比法.

设计意图：遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策.此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主要内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.

四、教学反思

1.基于知识特征的教学反思

对于已有概念形成的背景中，如何能在朴实无华的情形下将新概念解释清楚，是本节的一个重点及难点.教学过程中，老师的角色始终是一个主导者，通过一个又一个的问题将学生引入课堂深处，整节课的展开又以学生为主体，有独立思考，也有小组讨论，让学生积极参与，课堂变成了学生真正自我探索的天地.学生在理解、把握数学知识的过程中，不仅仅是形式上的记忆数学知识，更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法等.把握数学知识、思想、方法的来龙去脉.从初中的三角函数定义到高中任意角的三角函数定义，通过设计问题串，引领学生追溯知识本源，类比知识差异，让学生在知识发生过程中进行“碰撞思考”，实现“再定义”，形象概括出任意角的三角函数定义.

2.基于认知方法的教学反思

本节课通过多媒体信息技术展示课例，并通过课例逐步引入课题，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣.教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、思想碰撞、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.通过问题的螺旋式探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动脑，培养学生处理信息的能力、获得新知识的能力、分析与解决问题的能力.F

*本文为全国教育信息技术研究“十二五”规划2014年度立项课题“信息化环境下高中课堂高效教学模式研究”（课题立项号：143032270）的研究成果之一.