☉江苏省张家港市教育局教研室 罗建宇

·江苏省张家港市高中数学特级教师工作室·

可参考答案，但不迷信答案*
——对一道习题解答的勘误

☉江苏省张家港市教育局教研室 罗建宇

近日，笔者在高三第二轮复习的调研听课中遇到一道错解的习题，通过百度搜索，发现类似问题还有其他形式的错解现象，为“拨乱反正”，撰此短文，供同行们教学参考.

题目已知函数f（x）=－x3+ax2+b（a，b∈R），若函数y=f（x）的图像上任意不同两点的连线的斜率都小于2，求实数a的取值范围.

配套教师用书答案：设函数y=f（x）的图像上任意不同的两点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），不妨设x1＞x2，

于是，上述教师用书上的答案为错解.那么，看似推理严密的解答中，错误在哪儿呢？原来，（错解中所设x1＞x2，其实只需x1≠x2），ax2+2＞0对x1≠x2恒成立，因而此处扩大了x1的范围导致了错误.在对二（多）元函数、不等式或方程处理时，我们须特别留意其隐含的限制条件，即各元之间的相互制约，以免出错.下面给出本题的两种正确解答.

上述两种解法中，解法1是借助原题错解的提示，利用变量分离和构造不等式解得，此法的意义：一是其采用变量分离的办法给出此类问题的一种一般算法，即求分离出的二元函数f（x1，x2）的值域；二是这种构造不等式的技巧在竞赛数学中常用.解法2构造函数利用导数解答，过程简洁明了，也是实际教学中常用的优选方法.事实上，由于此习题中涉及的是三次函数，因此参考答案中大费周章地用了判别式，由于变量x1≠x2致使原解答错误，如若换成类似的一个问题：已知f（x）=alnx-x2，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数p，q，＞1恒成立，求实数a的取值范围.笔者想，此时教师用书给出的答案一定用到解法2的思想.F

*本文是苏州市教育科学“十二五”规划2013年度重点立项课题《基于数学素养生成的教学实践与校本课程开发研究》（课题编号：130801243）的研究成果之一．