如何提高数学课堂教学的品味*

2015-04-28上海市七宝中学文卫星

中学数学杂志 2015年7期

☉上海市七宝中学文卫星

如何提高数学课堂教学的品味*

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何为高品味的数学课堂教学？简言之，就是既有知识发生、发展过程，又有能力训练，同时有机融入数学思想（哲学思想）和文化的数学课堂教学.思想和文化在课堂上的体现就是在知识教学、能力培养的基础上，用一两句有文化含量的话语从哲学（理性）层面揭示所学内容的本质，使数学教学无痕地融入育人，把教书育人落到实处.

一、数学育人：发展思维能力，培养理性精神

数学的育人价值在于以数学知识为载体来发展学生的思维能力，在数学教学过程中培养理性精神.数学思维（逻辑思维、抽象思维、形象思维）能力就是要把具体的数学知识转化成智慧，理性（工具理性、价值理性）精神就是在教学过程中养成对真、善、美的追求.

思维能力和工具理性是显性的，是“物质层面”，是课堂教学的“正面战场”，是着墨最多的地方；价值理性是隐性的，是“精神层面”，在课堂教学中是“顺带发挥”，但却是最具育人价值的地方.“真、美”是数学老师在课堂上津津乐道的，对“善”则见仁见智，甚至避而不谈.北京大学王以遒先生对“善”的解释是：实现“善”，最根本的是要体现“正义”.这是最基本的社会价值信仰的追求.它实际上就是对人与他人、社会和自然相处中权利与义务的对称性要求的体现.包含两重意思：（1）人生而有权享用大自然所赐予的各种资源，同时有义务来珍惜和爱护自然；（2）人生而有权享用他人（父母、社会、国家等）所提供的服务，但也有义务服务他人，包括孝顺父母、服务社会、效忠国家等.权利和义务、给予和回馈都是互相对等、高度对称的.这体现互爱、互助、互惠，涵盖公平、平等、公正、正直等，体现中国传统儒家观念和行为准则.这种对等、对称的关系是数学美、自然美向社会的延伸［1］.

目前的数学教学异化为解题，以致学生负担过重还没有掌握数学的精髓——数学思想，没有养成理性精神.解题教学没有让学生体会到学习数学过程中克服困难的乐趣，没有感悟到数学思想方法中闪烁的智慧，没有欣赏到数学的形式与内在的美.这样的数学教学不妨称为“没有灵魂的壮汉”.课堂教学套用美术界的俗语是“工笔尚好，写意不足”.学生对这样的数学课是既爱又恨，因为分数，“爱”解题，爱得无奈；因为没魂，恨解题，恨之入骨.

当然，没有扎实的知识教学与能力训练，空谈数学思想更不行，那是“没有躯体的幽灵”.处理好两者之间的关系才能提高课堂教学的品味，这就要在落实“双基”的基础上（知识适度）再把握好两个度：思想高度、文化厚度（笔者简称为“三度”）.

二、思想高度：阐明数学思想，彰显教学智慧

思想高度不能望文生义，以为是高不可攀.其实思想高度是落实在课堂教学的各个环节，尤其是数学思想很多是显性的，无需多解释学生就能明白，当然，有时需要老师明确点出.

数学教学的形式是教定义、定理、公式和解题，要让学生理解定义，掌握定理、公式的来龙去脉，确实需要做一定量的题目.但对较灵活问题的考查，仅凭大量训练是不够的，需要在数学思想的指导下灵活运用所学知识实现有意义解题.而重视知识的发生、发展过程有助于学生掌握相应数学方法、形成数学思想，从而也有利于解题教学，这是一种可持续的智慧教学.

1.揭示知识生发展，掌握方法成思想

“生发展”有两层含义：一是指学生的发展，二是指知识的发生、发展过程.重视知识的发生、发展过程能为后续学习打下坚实的基础，在短期内不一定有明显效果，但有时却能收到“出其不意”之效.

例1（2014·上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1、2、…、8）是上底面上其余的八个点，则数为（）.

知识的发生、发展过程是形成思想的重要环节.揭示知识的背景和事物的发展规律，学生能感悟到以数学知识为基础能形成数学思想，其形成过程就是数学方法.

2.解题瞻前又顾后，等价转化有讲究

“瞻前又顾后”是指解题前对寻找解题方法的分析，即向学生讲清楚“是怎样想到的”，以及解题后的归纳总结，可以是解题方法的总结，可以是一类问题的推广，也可以是有感而发的即席议论、点评等.

例2已知函数f（x）=|lgx|，a、b＞0，f（a）=f（b），则

从已知出发“山穷水尽”时要“迷途知返”，再从结论出发看如何利用已知条件得到中间结论，架设沟通两者的桥梁，让“天堑变通途”，进而“柳暗花明”.解题前的分析和解题后的总结是形成数学思想的有效手段.

3.教学更上一层楼，哲学指导不能丢

“没有数学，我们无法看穿哲学的深度；没有哲学，人们也无法看穿数学的深度；而若没有这两者，人们就什么也看不透.”（德莫林思）笔者的理解是：数学与哲学都强调逻辑与思辨，自古渊源深厚，同出一门.数学的内容具体、丰富，可以为哲学提供有力的论据；而哲学规律揭示了事物的本质，可以为数学提供方法论的指导，使我们看问题的眼界更开阔，从更高的观点分析和解决问题，加深对数学本质的理解和认识，加快对数学的基本思想和方法的掌握.

（1）一般与特殊的关系.

一般情形成立，特殊情况一定成立，反之不然，但有时可以从特殊情况分析一般结论，再给出证明.解答客观题时特殊值法是常用方法之一，而某些较难的解答题也可以通过特殊值法投石问路.

例3数列｛an｝满足an+1+（-1）nan=2n-1，且a1=2，Sn是｛an｝的前n项和.

（1）求a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8；

（2）求an；

（3）求Sn.

分析：（1）为（2）做铺垫，由此可归纳出：a4k-3=2，a4k-2= 8k-5，a4k-1=0，a4k=8k-3，再用数学归纳法证明，然后分段表达（这里略），求出an之后再求Sn就很方便了.

这就是华罗庚先生所说的“退到最原始而不失重要的地方”.本质上是“一般性寓于特殊性之中”这一哲学原理在数学教学中的运用.

（2）展示数学的统一美.

数学美是吸引学生的一个重要方面，教学中应该注意指导学生欣赏和发现数学美，比如利用向量中的不等式m·n≤|m|·|n|和|m±n|≤|m|+|n|可以方便地解涉及函数、不等式、几何等的最值问题.这些问题看似与向量无关，不用向量方法每个问题的解都有一定难度，而用向量法则相对比较容易，让学生感到“数学真是不可思议”，体会到数学的奇异美.一个公式把零散的数学知识用逻辑的链条串联起来，形成完整的知识体系，就像一串美丽的珍珠，令人赏心悦目，体现了数学世界的和谐统一.

（3）防止以偏概全.

解题教学通常是在一定的思想方法指导下，在分析时要讲清“来龙”，总结时要指出“去脉”，在总结规律时，同时要对这种方法的局限性做出点评，以防学生不分青红皂白套题型.

比如在运用公式|m±n|≤|m|+|n|解题时，要特别强调等号成立的条件，这在解题设向量时就要考虑到，否则就有可能犯错误.

哲学思想对数学教学的指导是多方面的，相信同行们在教学实践中有很多体会.

三、文化厚度：深刻理解数学，营造文化氛围

数学文化是紧密联系所学内容，调动学生学习兴趣，帮助学生理解、记忆所学知识，有利于能力形成的生动活泼的教学形式，是提高学生的思想境界和文化修养的一条有效途径.

文化厚度是说数学课应该有一定的文化含量.数学知识是文化知识的一部分，数学文化并不神秘，幽默与风趣的语言、一个智慧的比喻、一个典故、和谐的师生关系都散发着数学文化的芳香.数学文化是把数学知识转化为智慧的催化剂.

1.透彻理解教材，展示数学文化

中学数学中有些定义、公理源于生活，运用学生生活中随时能见的例子开展教学，学生会觉得数学“很有意思”，既能调动学生的学习积极性，又能加深对所学知识的理解.

比如“不在同一条直线上的三点确定一个平面”教学中，一手扶着门的一边并慢慢移动，同时问学生：门的另一边上有2或3个铰链为什么不能把门固定，而把门锁上（故意发出撞击声）即可固定？学生发现铰链是在一条直线上，而锁不在铰链所在的直线上，因此可以认为不在一条直线上的三点确定一个平面，也可以认为一条直线和这条直线外的一点确定一个平面.

立体几何中的好多定理可以通过教室和长方体模型来发现.想达到这一点，首先教师对教材要有深刻的理解，才能在教学中把握得当，让学生由感性到理性经历定理的发现过程，再用符号表达并给予证明.

2.升华思想方法，课堂寓教于乐

在数学思想上作适当引申.比如，数形结合的本质是借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法.它可以使抽象问题具体化，复杂问题简单化.可引申为从两个不同角度看待同一问题，相互之间优势互补，也可以认为是一种多元文化.

（1）转化与化归——没有条件创造条件.

转化的思想是将直接求解不易解决的问题转化为与之等价的问题来解答，这是“发挥主观能动性，没有条件创造条件”这样一句哲学话语的最佳使用时机，要求学生不轻易说不会，而要说试试.解题前讲这些话能激发学生的斗志，面对困难问题跃跃欲试，在解题之后讲能勉励学生，启迪智慧，使其发奋有为，勇往直前.

（2）函数与方程——各具优势和谐统一.

方程的根就是函数的零点，根据需要，有时从数的角度考虑，选择用方程，有时从形的角度考虑，选择用函数，在不同的角度下相互转化，和谐统一.总结为：“函数方程是兄弟，此隐彼显两相依，根据需要选主元，难题也会变容易”，很受学生欢迎.

（3）分类讨论——从量变到质变.

对于分类讨论，学生普遍感到困难，难就难在分类标准不好确定，其实，当变量在某一范围内时，整体保持相应的性质不会发生质的变化，而越过这个范围就会发生质的变化，以分段函数为例，就是在各个区间内对应相应的解析式.总结为：“分类标准怎么定，量变放行质变停，把握节点规范写，攻坚克难你能行”，既指明分类讨论的一般方法，又能激励学生.［2］

（4）幽默风趣——智慧的总结.

幽默与风趣是智慧的象征，数学教师应不乏这种智慧．

选择参数时，常称为“无中生有”；把求轨迹的范围称为“打假”，而把范围没求对称为“假打”；针对学生不习惯动手演算的情况，提出“该出手时就出手”；“一国两制”是分段函数思想在治国方面的具体应用，这些风趣的语言能收到良好的教学效果．

形体语言有它独特的作用．如在比较底数大于1（或大于0小于1）的指数函数的图像关系时，笔者紧贴讲台，以讲台边线为x轴，自身为y轴，两臂水平放置为直线y＝1，当a越大（或越小）时图像越靠近y轴，只要把两臂演示成指数曲线向身体靠近．

凡此种种，对教师来说也就是一句话，学生却有可能对某个问题有更深入的理解，视野就可能更宽一点儿，眼界就可能更高一点儿，也能使课堂有更多的乐趣.

3.感悟数学精髓，引领学生审美

“世界本不缺少美，缺少的是发现美的眼睛”，数学教学何尝不是这样！

（1）苦中求乐，乐在其中.

苦和乐，不同人会有不同的理解，同一件事，喜欢的人再苦也不觉得苦，而不喜欢的人可能觉得很苦.学习数学并不能让所有学生喜欢，但可以引导学生苦中求乐，乐在其中.

在一次教学中，有一题经过讨论学生理清思路后认为会做，为了减少“会而不对”现象，教师要求学生在课堂上做，一位学生说：“老师，会做就不用再算下去了吧.”因为运算相对枯燥，为了活跃气氛，教师说：“你们做题，我给你们讲‘故事’：我小时候看电影大都是战争片，只要听到冲锋号一响，画面上就是八路军、解放军奋勇向前，一会儿，电影结束，我们胜利.”然后评论道：“当年冲锋陷阵是民族英雄，今天快速准确解出数学题将是未来国之栋梁.”逗得学生一乐，气氛活跃，精神倍增.也有学生说很有哲理.

学好数学无疑要吃苦，但要让学生认识到这是对意志、耐心、韧性等精神品质的磨砺.

（2）面对困难，坚韧不拔.

学生在学习、生活中难免会有磕磕碰碰，教育学生正确对待挫折是教师义不容辞的责任.

在“极限”第一课时的小结中，把极限过程中的“逼近”思想概括为“极限精神”：“明知不可企及，你却锲而不舍，历经各种磨难，终近理想彼岸.你的坚韧精神，世人代代相传，每逢攻坚关头，高呼挑战极限！”

这种根据教学内容提炼的含有一些哲理的话语，使学生在掌握知识、获取能力的基础上，提高思想境界和文化修养.

（3）诗意课堂，引领审美.

理性的数学教学引导学生对真理的追求，诗意的数学教学引发学生对美的渴望，并在学习过程中得以展示.薛娇写道：也许，极限就是一条路，一条有尽头却走不到尽头的路.

它是最最珍贵的对美的感悟，感悟难以达到尽头，极限亦是如此.

这是一种何其华美的意境！原来美到极致竟是极限.望着这深邃的恒久之美，笔者久久沉默.数学的美总是那样的精准与和谐，完美而没有斧凿之痕.

这或许就是“桃李不言，下自成蹊”吧！愿数学课中多些诗歌、多些笑声、多些欢乐，但更要多些对数学本质的理解……

4.注重数学育人，提高教学品味

数学课的育人要有数学特色，融入正确的价值观、人生观、世界观于教学之中，让学生在愉悦的环境中无痕地接受教育.比如，在概率习题课中有下面一例.