☉江苏省沭阳高级中学 王有茂

数学实验教学初探

☉江苏省沭阳高级中学 王有茂

在美国的诸多教育场所有这样一幅标语：“听了，我知道；看了，我理解；做了，我记得.”心理学研究也表明：听可以记住10%的信息；看可以记住30%的信息；动手做可以记住90%的信息.这就说明在获取信息的过程中，动手做的效果最佳.为了能在教学过程中给学生一个接触科学、学习科学、感受科学的环境，创造学生多动手、多动脑的条件，教师可以在课堂教学过程中适当地穿插一些实验教学.数学作为一门自然科学，当然也不能例外.

新课程理念正是基于此的一种数学教学实践，新课程标准中对于动手实践有了新的说明：让学生积极参与知识的形成过程，主动建构概念，可以用操作实践的方式（诸如数学实验等）让学生理解数学、运用数学、体会数学的实际价值；荷兰著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal，1905-1990）曾说过：“要实现真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的.在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展，它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动”.笔者认为：尽管从现阶段数学教学来看，更多时候数学还是以纯粹理论的方式在进行教学，是以形式化的特征在展示和考查，但是在新课程理念大方向的指引下，数学教学的趋势势必会向更侧重动手实践的一面倾斜，数学教学也将会类似物理、化学等学科更注重动手操作与亲身实践，随着信息技术的不断发展，还会为数学实验教学增添更丰富和更新鲜的内容，提供更先进的手段.近年来，数学实验一词渐渐在各地新课程培训和实施中崭露头角.国内外都有一些中小学开设了数学实验室、“e-数学实验室”或实验角，准备各种各样的教具、操作用具，许多用发现法教学的课就在数学实验室中进行.我校是江苏省数学技术与高中数学整合课程基地，建有数学实验室，拥有诸如图形计算器、平板终端、幻灯、几何模型、实具等一系列数学实验工具，还建设有云课程技术设备，笔者有幸参与了依托课程基地的省教育科学“十二五”规划课题“基于云课堂的高中数学互动课程开发研究”的研究，观摩了一些数学实验课教学，也进行了一些数学实验教学尝试，颇有感想，在此与大家交流分享.

一、数学实验的特点

1.开放性

数学实验不必像物理、化学课中学生分组实验那样，用整节课比较规范地完成教师在实验室中准备的实验；也不一定要履行“预习—实验—报告”的要求；也不一定都是借助实物教具，还可以通过数学软件来完成.实验的结果也不一定唯一，具有开放性.教师可以根据教学的要求，选择不同性质的实验.实验的时间可以由几分钟到几十分钟不等.数学实验要求做到开放性设计问题，放手让学生借助工具，利用数学APP、网络、资料实验学习，最终让学生解决问题；教师也不再是教书匠，应该是辅导者、参与者、组织者、交流者、归纳者、评价评估者，教师不能控制学生的思维，要大胆放开，真正相信学生，教师可以提供实验的思维方法、实验的规范性和逻辑性.

2.可操作性

数学实验与一般的科学实验类似，具备可操作性.数学实验的目的是增加学生学习数学的趣味性，提高学生学习数学的积极性，增强学生对数学的应用意识，培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力.不同于传统的数学学习方式，它强调以学生动手为主的数学学习方式.传统的数学教育一般都是纯理论的研究，曾经有人问挪威数学家阿贝尔，你为什么喜欢研究数学？而不是物理或天文学？阿贝尔说：“我喜欢最简洁的东西，诸如一条线、一个面，甚至连研究的工具是那么的简洁——只要一支笔就可以！”当然，这种纯理论研究的数学时代在今天渐渐被多元化的研究方式所取代了，数学学习、研究的方式出现了诸如：数学情境研究法、数学实验研究、数学与其他学科整合式的研究、数学研究性小组讨论合作学习等，这些都提出了数学不再是以往的纯理论方式的学习，而是具备可操作性动手实践的新方向.

3.时代性

王长沛教授曾经讲过：“学生是信息技术的原住民”，信息化时代的产生与发展，决定了数学实验必然将大幅走进中学数学课堂.数学实验中，由于计算机的引入和数学软件包的应用，用数学APP来支持数学实验教学，为数学思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的、乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作.现阶段中学数学教学比较具备时代性特点的实验主要依赖下列基本工具：计算机、手持技术、平板终端、图形计算器、几何教具等，这些工具都给数学实验带来了时代性的特征，随着科技的发展，数学实验必然会受到更先进工具的影响，其时代性特征不言而喻.

二、数学实验的作用

1.促进主动学习，培养自主探究能力

数学实验设计的初衷正是为了培养学生的实际动手能力和对知识的理解能力.新课程一直致力于学生对知识形成过程的引导，那么在一些可以使用数学实验的课程中，将数学新知引入以数学实验的方式来解决，教师的作用是引导学生完成对新知的操作和理解，而不是替代.在这些新知教学中，以数学实验为知识学习的前沿，通过合理的教学设计和实验装备，将学生引入到这个操作环节中.这里需要指出：在实验环节，教师最好的作用是“消失”.大量的研究已经表明，动手操作是学生最喜欢的教学方式，而对学生喜欢的方式进行这样那样的干预，会影响学生对于问题解决的创造力，容易抹杀学生的积极性.因此，笔者认为只要教学环节设计合理，把数学实验操作还给学生，对于促进学生主动学习，培养其自学能力是一种极大的促进，这是真正符合新课程理念的主动探究、积极建构，而不是所谓的伪探究.图1是笔者对于学生如何进行数学实验操作的一个整体建构思路：

图1

案例1“椭圆的定义”的引入教学.

在苏教版“圆锥曲线”的第一节课中，集中介绍了圆锥曲线的三种曲线的定义，课本上虽然给出了一些实验方案，但多数老师或是让学生自行验证，或是自己演示课件了事，而忽略了这一节课的教学目标，实际上这是一节很好的数学实验课，对学生理解圆锥曲线的本质及后续的学习至关重要，做得好甚至会让学生终身难忘.笔者对椭圆的定义引入作如下设计：

上课开始，让学生利用几何实验室的圆锥曲面教具（或自制圆锥体）自由切割形成曲线，首先对各种曲线有一个感性认识，然后在圆锥曲面（透明的有机玻璃做成）内放入两个球和一个椭圆面（有色透明），用Dandelin双球发现椭圆的特性：到两切点距离之和为定值，加深对椭圆的理解，最后让学生动手画出椭圆.

课程教具材料：一块适当大小的木板、一根棉线、两个钉子、一把小锤.

师：圆的定义是什么？

生：平面内到定点距离等于定值的点的轨迹.

师：我们如何画圆呢？

师：如何画椭圆呢？

生：把一个定点变为两个定点.

师：那请大家来画一下椭圆.

多数学生将钉子由一个变成两个，画出了大小不一的椭圆.（有的同学由于两钉子间的距离太大，线被拉成了一条线段，有的直接线就短了，无法连接.让各种情况的同学展示，大家进行评价纠正，适当调整线的长度后画出了椭圆）

师：能归纳出椭圆的定义吗？

生：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹.

内容：研究生认为现在的入学教育内容千篇一律，即陈旧又太单调，主要以说教为主。建议注重内容，加强内容层次，与时俱进，丰富有意义的内容才可以吸引学生主动参加。

师：为什么有的同学画出了线段、有的同学画不出来呢？

最终通过不断补充修正，完善了椭圆的定义.

老师鼓励几何画板水平高的同学，运用几何画板画图，最后老师演示，从而引出椭圆定义.还可让学生观察各个同学画出的椭圆的大小、圆扁程度，启发学生进一步研究其与线长、两定点之间距离的关系，激发学生研究的兴趣，为后面研究方程和几何性质埋下伏笔.学生通过亲身的实验操作，通过动手、动脑、动口多种感官参与学习活动，不但掌握了学习数学的方法，而且从感性认识上升到了理性认识，发现了椭圆的内在规律，又培养了学生自主学习的能力、探究能力和合作学习能力.

2.优化课堂教学，加深知识理解层次

数学是形式化的、抽象的，但是抽象的背后也孕育着非形式化的手段.这种手段可以利用数学实验来实现，比如以向量教学为例，向量是既有方向又有长度的量.学生初学向量总觉得非常别扭，向量的很多运算方式和法则与脑海中一维实数运算并不相同.笔者数次在向量运算法则教学中发现，仅仅依赖教师讲述这些法则的适用性，只能使少数学生理解和掌握，大多数学生尽管依赖法则解决问题，但是对于法则为什么是这样使用的原因知之甚少.

因此，笔者设计了向量法则教学的数学实验，使其对教学增加了实效性的效果.学生亲自参与和控制数学现象，身临其境地了解数学现象产生的条件、变化过程及其规律.从而深刻地理解数学概念的意义和规律适用的条件，对知识的了解更深刻，掌握更牢固.

案例2在实数与向量的积第一课时教学时可采用实验法.课前让同学准备一盒火柴，先将一根火柴放在桌面上，把它看作向量a，火柴头看作a的终点，然后作如下实验：

①按第一根火柴的方向，首尾相连地连续排三根火柴得向量b；

②按第一根火柴的反方向，首尾相连地连续排三根火柴得向量c.

让学生自己观察它们的方向、长度与a的方向、长度之间的关系.分小组讨论，然后各小组派代表发言，共同探讨出结论，进而推广到任意实数与向量相乘，归纳出数乘的定义（λ，a）.这样使学生通过亲身体验，得出结论，获取了成功的喜悦，又从特殊到一般引出定义.这种促使学生主动参与知识的形成过程的教学方法，既符合学生学习的认知规律，又突出了学生的主体地位.另外还可请同学用火柴验证向量数乘的分配律.

从本节课的实际效果来看，学生兴趣较浓，比较清晰地完成了对数乘定义的理解.这一实验的成功对学生来说，既是对数学研究活动的一种体验，又是掌握一种终身受用的治学方法；如此让学生亲自从实验中得出结论，不仅可以激起学生的兴趣，还可以使学生更容易理解知识.数学实验教学具有刺激性的效果.学生在教师的指导下，独立完成数学实验，体现了对知识的再发现和重新探索的过程，通过实验使学生在完成实验的过程中品尝到胜利的喜悦.

此外数学实验对优化思维品质，培养创新能力，也都非常重要.学生在实验的过程必然会产生新的问题，并对新出现的问题进行探索，通过不断调整自己的思路，再实验，再调整，直至解决，于无形中优化了思维品质，培养了自身的创新能力.

三、数学实验的模式

笔者从数学实验的操作方式进行小结，数学实验的教学可以分为以下几种模式：

1.自主探索式

这种模式要求把自主学习的空间还给学生，把自主学习的权力交给学生，把自主学习的过程让给学生.教师的作用就在于创设自主学习的氛围，激发自主学习的兴趣，培养自主学习的能力，提供自主学习的支持，为学生创造成功的机会.

案例3平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这n条直线的交点个数.

（1）画图观察、猜想，由图2可得：f（1）=0，f（2）=1，f（3）=3，f（4）=6.

图2

由此可得f（1）=0，（f2）=（f1）+1，（f3）=（f2）+2，（f4）=（f3）+3.

猜想：（fn）=（fn-1）+（n-1）.

（2）用数学归纳法证明猜想（略）.

在这里，自己进行动手画图、观察、分析、归纳、猜想的过程正是一项很有价值的思想实验.通过亲身的实验操作，通过动手、动脑、动口多种感官参与学习活动，不但掌握了学习数学的方法，而且从感性认识上升到了理性认识，发现了其内在的规律.

2.师生协作式

师生协作式数学实验要求在教学活动中，师生的人格地位平等，师生双方共同参与，相互合作，一起组成教学活动中充满活力的可交流和共享的资源.文中案例1即为师生协作式，此处不赘述展开.

3.生生协作式

让学生以小组合作的方式来做，可以培养他们的团队合作精神和人际交往能力，形成和发展他们的情感、态度、价值观.例如，笔者曾经观摩初中的一节“e-数学实验室”公开课，课题是“一次函数的图像”，每组同学在组长的统一安排下，各个组员对一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b进行不同赋值，利用图形计算器，绘出图像，小组成员对得出的图像进行交流、观察、比较、讨论、归纳，进一步分析研究，最终得出了一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与k、b符号的关系，进而得出一次函数的性质.

总之，在数学教学中，其一，如果学生一眼就能看穿的结论，大可不必进行实验操作，因为实验教学仅仅是数学教学大花园中的一朵奇葩而已，花园只有争奇斗艳，才能让参观者流连忘返.所以千万不要动不动就实验教学，毕竟数学是思维的体操，实验验证只是片段而已；其二，如果怕影响教学进度而放弃“数学实验”也是很不可取的，因为“数学实验”是一种过程教学，能很好地培养学生的探索精神和创新精神，符合新课标的要求，因而数学实验教学必须把握好度，我们不能也不必要依赖于实验方法来学习数学，但完全可以用实验方法去探索真理、发现真理，培养学生的创新能力.F