袁 媛, 刘会立

(东北大学 理学院, 沈阳 110819)



三维Minkowski空间中的平移曲面

袁 媛, 刘会立

(东北大学 理学院, 沈阳 110819)

讨论三维Minkowski空间中的平移曲面。曲面的性质主要取决于高斯曲率和平均曲率,所以研究曲面的高斯曲率和平均曲率之间的关系,也就是曲面的Weingarten型有着重要的意义。在三维Minkowski空间中,存在类空、类时、和类光3种向量,选取这3种向量中的任意2种作为2个平移方向,可以将平移曲面分为6类。在伪正交标架下,选取一种新的度量形式,对沿类光和类空方向平移的平移Weingarten曲面进行了研究。首先,根据微分几何中的基本知识,得到了该种度量形式下的平移曲面的第1、第2基本形式以及高斯曲率和平均曲率;然后,主要利用高斯曲率和平均曲率之间的线性关系和平方关系,得到了这类平移曲面的分类定理。

Minkowski空间; 平移曲面; Weingarten曲面; 伪正交标架

0 预备知识

〈,〉=2dxdy+dz2

r(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)}

曲面S的第1基本形式[1]Ⅰ定义为

Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2

E=〈ru,ru〉,F=〈ru,rv〉,G=〈rv,rv〉

Ⅱ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2

L=ε〈n,ruu〉,M=ε〈n,ruv〉,N=ε〈n,rvv〉

曲面S的高斯曲率[2]K和平均曲率[3]H分别为

定义[4-5]若曲面S的高斯曲率K和平均曲率H满足一个函数关系式,即

f(H,K)=0

则称曲面S为Weingarten型曲面,或Weingarten曲面。

r(u,v)=(u,v,f(u)+g(v))

1) 沿2个类空方向平移;

2) 沿2个类时方向平移;

3) 沿2个类光方向平移;

4) 沿类空和类时方向平移;

5) 沿类空和类光方向平移;

6) 沿类光和类时方向平移。

1 线性Weingarten型曲面

r(u,v)=(f(u)+g(v),u,v)

该曲面的高斯曲率和平均曲率分别为

证明 当K=C(常数)≠0时,即

整理得

式(1)对v求导得

f″g‴

由式(1)与式(2)消去f″得

即

此方程左边是关于v的函数,而右边是关于u的函数,则f′=m(m为常数),因此,f″=0。而由式(1)可知f″≠0,得到矛盾。

1) 平面;

2) 柱面;

3)f(u),g(v)满足

f(u)=c1e-Au+c2

其中A,b1,b2,c1,c2∈R。

证明 当H=0时,即