赵小山，孔德富，何文章（天津职业技术师范大学理学院，天津　300222）

基于概念图的微分中值定理的教学探索

赵小山，孔德富，何文章
（天津职业技术师范大学理学院，天津300222）

摘要：讨论了概念图的含义、基本理论、作用和制作方法，并将其运用到微分中值定理的复习巩固教学探索中，可以使学生很好地掌握微分中值定理的条件、表达式及其意义，教学实践效果良好。

关键词：概念图；微分中值定理；教学探索

微分中值定理是一系列中值定理的总称，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，主要是用来研究怎样由导数f′的已知性质来推断函数f所应具有的性质[1]，是研究函数的有力工具，是硕士研究生考试中的常见题型，也是教学活动中的难点和易错点。如何突破这个难点，寻找一种学生容易掌握的方法，概念图不失为一种有力的工具。目前概念图已经被越来越多的人所关注，通过概念图的学习能够提高学生的理解能力、逻辑思维能力及创新能力。本文讨论概念图的含义、基本理论、作用和制作方法，并将其运用到微分中值定理的复习巩固教学探索中，帮助学生掌握微分中值定理的条件、表达式及其意义，具有良好的教学效果。

1　概念图

1.1概念图的含义

概念图的思想最早是20世纪60年代美国康奈尔大学诺瓦克（Joseph D Novak）教授等提出的，但是直到20世纪80年代概念图这一名词才最终被确立下来[2]。概念图表示的是概念与概念之间相互关系的空间网络关系图，作为表示组织和表征知识的有力工具[3]，它包括节点、连线和连接词3部分。节点表示置于方框或圆圈中的概念，连接词则是概念与概念之间关系的标注。概念图的基本形式一般有3种：链状图、网状图、层级结构图。

1.2概念图的基本理论

概念图理论是基于奥苏贝尔的有意义言语学习理论和建构主义学习理论发展起来的。有意义学习是指符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为（非任意的）和实质性的（非字面的）联系的过程。简而言之，就是符号或符号组合获得心理意义的过程。概念图可以帮助学生理清认知脉络，加深理解[4]。建构主义学习理论强调的是知识结构的重要性，认为知识结构就是某一学科领域的基本观念，它不仅包括掌握一般原理，而且还包括学习的态度和方法。学生是学习的主体，是学习的主动构建者。而构建概念图的过程恰恰是学生梳理知识脉络，积极主动学习的过程。

1.3概念图的作用

在西方国家，概念图是教学活动中常用的一种方法[5]，并且取得了良好的教学效果。但在我国，概念图仍处于发展阶段。随着教育教学的逐步完善，概念图法在教学活动中取得了极大的发展，发挥了巨大的作用。

（1）概念图是一种教与学的策略

应用概念图最初的目的是学习者学习的一种策略，帮助学习者进行有意义的学习。奥苏贝尔的“先行组织者”（advance organizer）策略认为，在展现教学内容之前，介绍相关的引导性材料，这实际上是体现概念图的一种方法，这样可以使学习者在新旧知识之间建立桥梁，在已知旧知识的基础上学习新的知识，进而促进其有意义的学习。同时概念图还可以降低学习的焦虑水平，改变其认知方式。此外，概念图蕴含的丰富教学功效，可以使其作为一种教学策略，切实提高教师的教学水平[6]，从而提高学生的学习成绩。学生自己或者师生共同编制概念图，比学生只看课本的效果要好，同时这种方式还可以培养学生的团队精神和增进良好的师生关系。在概念图的绘制过程中，需要经过制作、修改、思考、再修改、再制作等环节往复循环来完善概念图，这样不仅使学生很好地掌握了知识，而且具有导向性，让学生学会了思考，培养了自学的能力。

（2）概念图是一种交流的工具

目前，互联网的交流非常普遍，但大部分以文本的形式来交流[7]，如果交流双方以概念图来交流，效果会很清楚和直观。概念图作为知识表征的一种类型，在教学活动中，很好地诠释了“教”与“学”的关系，体现了概念图作为一种交流方式的工具性，教师用概念图帮助学生建立整合的、系统的、结构化的知识，提高了学生学习的积极性，使学生思维更加活跃，从而达到“教学相长”的目的。

（3）概念图是动手动脑、促进全面发展的一种手段

动手动脑体现手脑并用、知行统一、身心和谐发展的教育思想。动手强调职业、技能、实践，动脑强调学术、创新、认识。全面发展是中国教育方针一贯的根本要求，师范生更需树立全面发展的意识，具备德、智、体、美全面发展的素质。概念图法恰恰能够体现学生的动手动脑思想。学生通过思考所学内容的关键概念，总结、归纳出各个概念之间的联系，然后用具体的知识或事实充实相应的概念，最后自己动手画出概念图。这样新知识获得了意义，旧知识得到了复习，丰富了学生的知识体系，培养了学生的学习兴趣，拓展了学生的思维，进而使学生得到全面发展。

1.4概念图的制作方法

概念图的制作一般需要以下5个步骤完成：①选取某一知识领域；②确定关键概念并排序；③拟定概念的层级布局；④进行各级连接；⑤反思与完善[8-9]。

2　基于概念图法复习微分中值定理

由于微分中值定理内容复杂，理论性强，通常教师讲解完以后，学生们依然一头雾水，不知道各个定理之间有什么关系，因此可以尝试应用概念图法来复习巩固微分中值定理。主要采取的教学方式是小组合作，共同编制这一领域的概念图，最后教师和学生共同修改完善。具体过程如下：

（1）学生自己浏览课本，复习各个定理的条件结论。

（2）学生根据自己所学的内容和教师所讲的内容，进行小组讨论，画出概念图。

（3）选取2个小组展示本组画的概念图。2个小组画出的微分中值概念图如图1和图2所示。从这2个图中可以看出，学生基本掌握了微分中值定理的条件和结论，并对各个定理之间的关系有一定的了解，但同时也反映出2组同学对这4个基本定理的理解还比较浅显，并没有深入挖掘其中的内在联系。

图1　微分中值定理概念图之一

图2　微分中值定理概念图之二

（4）师生合作，共同完善概念图。这些定理有着不同的表达式，看上去各个定理之间没有关系，但仔细思考会发现其中存在很多关联，学生们也正是忽略了这些细微的、深入的联系。比如拉格朗日定理也是泰勒定理的一种特殊情况，即拉格朗日定理是泰勒定理在n=1的情形。同时，学生们的概念图不是很完善，没有详细地介绍每一个定理的条件、结论、意义及其应用。学生们应该学会运用概念图建构完整的知识网络[10]，使概念图达到系统化、结构化和完善化。由教师和学生共同完善的概念图如图3所示。通过与学生互动交流，教师观察发现学生们反映良好，学生们一致表示运用概念图法复习巩固微分中值定理能够很好地掌握各个定理之间的关系，并表示要自觉将此方法运用到其他章节的复习中。

图3　微分中值定理概念图

3　结束语

本文讨论了概念图的含义、基本理论、作用及其制作方法，并将其运用到微分中值定理的复习巩固教学探索中。先让学生自己构建概念图，然后针对学生的不足，师生共同完善概念图，这种方法可以使学生有效地掌握微分中值定理的条件、结论及其意义；通过观察学生反应发现，教学实践效果良好。

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］杨芳.基于概念图的大数定律教学［J］.高等数学研究，2014，17（1）：112-115.

［3］NOVAK J D，GOWIN D B. Learning how to learn［M］. New York：Cambridge University Press，1984.

［4］施良方.学习论［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［5］朱学庆.概念图的知识及其研究综述［J］.上海教育科研，2002（10）：31-34.

［6］裴新宁.概念图及其在理科教学中的应用［J］.全球教育展望，2001（8）：47-51.

［7］王大平，李新国.概念图的理论及其在教学中的应用［J］.现代教育技术，2004，14（6）：45-48.

［8］袁维新.概念图：一种促进知识建构的学习策略［J］.学科教育，2004（2）：39-44.

［9］高文.教学模式论［M］.上海：上海教育出版社，2002.

［10］赵秋，殷明娥.概念图及其在高等数学教学中的应用［J］.辽宁师范大学学报，2006，29（1）：126-128.

Teaching exploration on differential mean value theorem with concept map

ZHAO Xiao-shan，KONG De-fu，HE Wen-zhang
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：The conception，the theoretical foundation，the function and the construction method of the concept map are discussed in this paper. Differential mean value theorem can be reviewed using the concept map. The conditions，expressions and significance could be mastered better by the students. The teaching effect is good.

Key words：concept map；differential mean value theorem；teaching exploration

作者简介：赵小山（1967—），男，副教授，博士，研究方向为非线性动力系统分析.

基金项目：天津市教育科学“十二五”规划项目（VE2016）.

收稿日期：2015-05-29

中图分类号：O172.1

文献标识码：G712

文章编号：2095－0926（2015）03－0068－03