傅建红

圆锥曲线的定义是对圆锥曲线本质特征的深刻揭示，利用它来解决与圆锥曲线焦点或准线相关的问题时，常可优化解题思路，化难为易、变繁为简.本文利用定义探讨圆锥曲线中形如“PA±PB（其中P为圆锥曲线上的动点，A，B为‘给定的两点）”形式的几何最值问题，针对A，B两点的不同“给定”，分如下三种情形予以说明，供参考.

A，B两点均为动点

例1 如图1，点P在曲线C1：+=1上，点A在曲线C2：（x-8）2+y2=1上，点B在曲线C3：（x+8）2+y2=1上，则PA+PB的最小值是________.

破解 如图1，由于P，A，B三点均为自由动点，所以（PA+PB）min=PAmin+PBmin. 先将P点“固定”（暂时看做定点），则当A点在圆C2上运动时，易知PAmin=PC2-1，同理PBmin=PC3-1，所以（PA+PB）min=PC2+PC3-2. 注意到两圆的圆心C2，C3恰为椭圆C1的左、右焦点，由椭圆的第一定义知：PC2+PC3=2a=20（不论P点如何运动），所以PA+PB的最小值是18.

变式1 如图2，点P在曲线C1：-=1上，点A在曲线C2：（x-5）2+y2=1上，点B在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则PA-PB的最大值是_____.

破解 如图2，由于P，A，B三点均为自由动点，所以（PA-PB）max=PAmax-PBmin. 先将P点“固定”（暂时看做定点），则当A点在圆C2上运动时，易知PAmax=PC2+1，同理PBmin=PC3-1，所以（PA-PB）max=PC2-PC3+2.

注意到两圆的圆心C2，C3恰为椭圆C1的左、右焦点，由双曲线的第一定义知：当P点在双曲线左支上时，PC2-PC3=2a=8（不论P点如何运动），所以PA-PB的最大值是10.

点评 例1与变式1均涉及圆锥曲线上一动点与两已知曲线（圆）上动点的距离之和（差）的最值问题. 解决此类多动点问题的方法是“局部固定、动静转换”，即先将某一动点“固定”，求出其他动点运动时的最值情形，然后“恢复”固定点作为动点的“本质”，对已求出的最值继续求最值，即可解决.

本情形由于PC2-PC3为定值，故实际只求了一次最值.

链接 设P为圆C上动点，A为圆外一定……