李迎娣

(黄河科技学院国际学院，河南郑州450000)

二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法

李迎娣

(黄河科技学院国际学院，河南郑州450000)

[摘要]探讨了如何求二阶变系数线性齐次微分方程的解.利用常数变易法求解；利用Riccati 方程的相关结论来求解.

[关键词]二阶变系数线性微分方程；Riccati方程；常数变易法；通解

在理论较充分、应用较广泛的线性变系数微分方程却没有通用的求解方法，于是二阶变系数齐次线性微分方程的解的问题是人们比较感兴趣的课题.文章对系数满足特定条件的二阶变系数微分方程，通过常数变易法，化为恰当方程，化为Riccati方程来求解.

y″+p(x)y′+q(x)y=0

(1)

其中p(x),q(x)是关于x的连续函数.

1利用常数变易法求解

在常微分方程里，利用常数变易法[1]，求解微分方程对应的特征方程，求得特征根，再根据性质得到微分方程的通解.二阶变系数线性齐次微分方程能不能也用同样的方法来求解呢？因为其系数是连续变化的，故特征方程的方法就不适用了.但可以尝试用常数变易法来求解(1)的解[2].解法如下，

设y1(x)是方程(1)的一个特解，则cy1(x)(c为任意常数)也是方程(1)的一个解.利用常数变易法，设与y1(x)线性无关的解是y2(x)=c(x)y1(x)，其中c(x)是待定函数，将y2(x)代入方程(1)得，方程(2).

(2)

又y1(x)是方程(1)的解，故：y1″(x)+p(x)y1′(x)+q(x)y1(x)=0

化简为：

(3)

方程(3)可降阶，故令u(x)=c(x)′，方程(3)化为：

一般，若已知二阶变系数线性齐次微分方程的一个特解，利用常数变易法设出另外一个解，将该解代入原方程，得到一个可降阶的方程，便可通过解可降阶的方程得到二阶变系数线性齐次微分方程的通解.

2利用Riccati方程换元求解

将二阶变系数线性齐次微分方程通过换元法化为Riccati方程，再利用Riccati方程通解的结论，进而得出原微分方程的通解.

2.1　Riccati方程的相关结论

1841年，法国数学家刘维尔证明了著名的Riccati方程

y′=p(x)y2+q(x)y+r(x)

(4)

一般是不可积的，即不能用我们熟知的初等积分法来求解.

其中c为任意常数.

2.2　定理及其证明

定理1[5]若方程(1)的系数满足P′(x)=q(x)时，则方程(4)是可积的，且通积分是：

其中C1，C2为任意常数.

(5)

(6)

方程(6)为关于u(x)的一个Riccati方程，又P′(x)=q(x)，故方程(6)的系数满足引理1的条件，得其可积且能积分是：

以上证明过程是利用变量代换的方法，把二阶变系数齐次线性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=0化简为Riccati方程，然后再利用已知的结论算出二阶变系数齐次线性微分方程的通解.

参考文献：

[1] 王高雄,周之铭,朱恩铭,等.常微分方程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000．

[2] 胡劲松,李先富,郑克龙.一种变系数线性微分方程的求解方法[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2005,22(3):220-222.

[3] 冯录详.一特殊类型Riccati方程的积分[J].石河子大学学报(自然科学版),1997,(4):316-318.

[4] 庞建华.Riccati方程的一些新的可积条件[J].广西工学院学报,2008，(2):89-92.

[5] 张玉兰.二阶变系数线性齐次微分方程的通解[J].长沙大学学报,2013,27(2):1-3.

[作者简介]李迎娣(1985—)，女，河南商丘人，助教，主要从事计算数学方面的研究.

[收稿日期]2015-08-10

[中图分类号]O175

[文献标识码]A

[文章编号]1009-2102(2015)03-0001-02