李太敏

一、推理形式的错位：虚化思维的严谨性

1.合情推理的越位——直觉猜想的随意化

随着数学课堂教学改革的深入，合情推理在数学教学中的重要性，越来越成为人们的共识，广大教师也越来越认同波利亚《数学与猜想》中的观点：“数学的创造过程与其他知识的创造是一样的，在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前你先得猜测证明的思路，你要先把观测的结果加以综合，然后加以模拟，你得一次又一次地尝试，数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。”

猜想的确在数学教学中占有重要的地位，但是任何好的东西一旦变成形式，就可能变成坏的。让学生猜想，并不是无根据的大胆想象，还是要有猜想的依据，更不是瞎猜。如：在一节《椭园的标准方程》的市级公开课中：学生非常活跃，积极参与，互动频繁，当师生已推导出椭圆在轴上的标准方程后，教师让学生进行猜想：“如果你是一位数学家，请你大胆猜想焦点在y上的椭圆的标准方程。”

就可以随意化，有感觉就行的想法，它虚化了思维的严谨性，事实上，直觉猜想往往是在逻辑推理思维的多次运用后压缩简化的思维过程，略去许多中间环节，其结果是需要逻辑思维或实践验证的，这与盲目猜测截然不同，数学家更不会这么做的，对于学生而言，鼓励盲目猜测，会进一步阻碍严谨思维的发展。

2.合情推理的退位——演绎一元化

缺乏合情推理，过份形式化，会使演绎成为无本之木，缺乏合情推理的演绎推理，就会变成演绎一元化，也会虚化思维的严谨性，只有合情推理与演绎推理相结合，才是真正严密的推理。正如哲学家康德所说的“每当理智缺乏可靠论证的思路时，模拟的这个方法往往可以指引我们前进”，模拟推理（类比猜想等）就是合情推理的一种，推理依据的条件和结论之间的关系不一定具有逻辑性而仅仅依靠直觉猜想，这种非逻辑的推理方式，是建立在人们对事物的直观认识和直觉思维的基础上的一种似然推理方式，是对命题真伪的最初判定。如在一次市公开课《椭圆的几何性质》中，一位老师较好地利用学生的直觉，将直觉与演绎推理较好地融合在一起：师：“如何画椭圆的图形？”生：“在第一象限内取五个点。”师：“为啥？”生：“其他象限利用对称点。”师：“言外之意，椭圆具有对称性，你的直觉非常好，你还能进行严密推理嘛！”

二、推理过程的错位：虚化思维的深刻性

1.暴露显微过程的越位——推理过程的细枝末节化

以教材形式呈现的数学教学内容，从其形态来看是外显的、静态的，而其背后隐含了知识生长的动态过程。有些细小部分往往具有十分丰富的思想内涵，存在着很大的思维价值，在这些地方，教师要善于“小题大做”，以显性的知识为线索，通过暴露自己和学生的推理细节再现隐藏在教材背后鲜活的探索发现活动，促使在“显微”推理暴露过程中提升学生思维的深刻性，引导学生建构合理的数学认知结构。但也不是暴露得越细越好，有些细小推理部分，和主体思维、核心方法关联不大，是主体推理过程中的细枝末节，不宜将推理过程重点放在这里。如在苏教版高中数学必修四《两角和与差的余弦》的内容中，由于余弦的差角公式是推导正弦和（差）角公式、正切的和（差）角公式以及倍角公式的基础，并且其推理过程具有重要的教育价值，苏教版教材是利用向量数量积的方法来推导的，不仅推导过程简捷，也可以更好地揭示向量与三角函数的联系：在直角坐标系xOy中，

积如何分别利用定义及其坐标表示。而有些老师把重点放在cos（？琢-？茁）为啥是两个向量夹角余弦的推理过程中，利用大量的时间，反复讨论？琢，？茁，？琢-？茁的范围，事实上由于余弦函数是周期函数又是偶函数，因此只需考虑0≤？琢-？茁≤？仔的情况。？琢-？茁范围推理分析虽是难点，但只是主体推理过程中的细枝末节，不宜将推理过程重点放在这里，如若纠缠于细枝末节，反而会虚化主体思维的深刻性，影响对主干知识的理解，让学生顾此失彼。

2.暴露障碍过程的退位——推理过程的选择化

解决问题的思维方法常可分为三类：学生容易想到也容易实行（易想易行）的方法、学生容易想到但难以实行（易想难行）的方法、学生难以想到但容易实行（难想易行）的方法，老师常习惯于选择暴露易想易行、难想易行的解决问题的方法，不习惯于暴露易想难行的方法，也就是只选择暴露经过老师优化后的推理过程与方法。如在椭圆标准方程的推导中，2a，老师一般展示的都是移项平方，事实上，两边直接平方到底会怎样呢？又如点到直线距离的公式推导中，直接求出垂足坐标会怎样呢？

思维的深刻性体现为在智力活动中要能深入思考问题，要善于概括归类、善于抓住事物的本质和规律。老师既要展示数学问题解决的思维过程，便于学生深层次的理解与思维方法的借鉴，同时也要将学生认识问题、解决问题的思维曝光，便于教师及时的反馈评价。这样就要求师生既要暴露成功的推理过程：当时是怎样想的？有何规律？也要暴露错误但是具有价值的推理过程：错在哪里？当时是怎么想的？问题的根本在哪儿？更要暴露解决问题过程中出现障碍的推理过程：只做了一部分而出现障碍，为什么做不下去了？如何调整思路？只选择暴露优化后的推理过程，缺乏对易想难行的推理过程的暴露，缺乏对如何优化、为什么要优化的推理过程暴露，只会虚化思维的深刻性，学生不会形成自己的深刻思维，思维处于浅层，而只有尝试并真正比较后才能对数学方法进行优化。

参考文献

[1] 史宁中.数学思想概论（第1辑）——数量说数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.【责任编辑 郭振玲】