温 书，嵇绍春*， 王 敏

(1.淮阴工学院 数理学院，江苏 淮安223003；2.淮阴工学院 图书馆，江苏 淮安 223003)

分数阶脉冲积分微分方程的解

温 书1，嵇绍春1*， 王 敏2

(1.淮阴工学院 数理学院，江苏 淮安223003；2.淮阴工学院 图书馆，江苏 淮安 223003)

基于分数阶微积分和不动点定理, 我们讨论一类非局部条件下分数阶脉冲积分微分方程解的存在性, 主要方法是将分数阶积分微分方程转化为与之等价的积分方程，然后在Lipschitz型条件下利用Banach压缩原理证明其解的存在性。

分数阶积分微分方程；脉冲条件；解的存在性

分数阶微分方程作为一般整数阶微分方程的推广，在一些工程技术方面发挥着重要作用。由于分数阶微积分具有记忆性质(非局部性)，它非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的过程，已成为复杂系统、弹性材料建模中有效的数学工具，近年来受到广泛关注[1-3]。 另外, 在系统运行中由于一些突发事件，会导致系统状态在某些时刻发生跳跃，称为脉冲现象，脉冲微分方程刻画了这一过程，近期有关微分方程在脉冲条件下解的存在性和可控性研究也取得了一些成果。Benchohra[4]利用Monch不动点定理证明了一类分数阶脉冲微分方程的解，嵇绍春等[5]讨论了分数阶脉冲微分方程在非局部项为Lipschitz连续和非Lipschitz连续时解的情形, 利用其中的方法，本文进一步研究具有脉冲条件的分数阶积分微分方程的解。

具体地, 本文在Banach空间X中考虑如下分数阶积分微分方程

(1)

△x(tk)=Ik(x(tk))

(2)

x(0)=x0+g(x)

(3)

1 预备知识

定义1 如果函数PC(J; X), 且方程(1)、(2)、(3)式成立, 则称为方程(1)～(3)的解。

下面回顾分数阶微积分的一些基本内容。

定义2 函数h∈L1([c,d];X)的α阶分数阶积分定义为

其中，Γ(·)gamma函数。

定义3 函数h:[c,d]→X的α阶Caputo分数阶导数定义为

其中，h(t)有从1到(n-1)阶的绝对连续导数,n=[α]+1。

Kilbas等[6]介绍了分数阶微积分的如下性质：

引理1 设f是分数阶可导函数，令α、β>0,则下列性质成立

2 主要结果

引理2 令α∈(0,1],h:J→R是连续函数。函数u∈C(J,R)满足分数阶积分方程

当且仅当满足分数阶微分方程Dαu(t)=h(t),t∈J,u(p)=u0,0

引理3 令0<α≤1,函数f、 h、Ik、g是连续函数,则函数是方程(1)～(3)的解当且仅当x∈PC(J；X),且满足分数阶积分方程

(4)

证明 假设x满足方程(1)～(3)。当t∈[0,t1]时,有Dαx(t)=Ax(t)+f(t,x(t),Hx(t)),t∈[0，t1]，x(0)=g(x)

当t∈[t1，t2]时,有Dαx(t)=Ax(t)+f(t,x(t),Hx(t)),t∈(t1，t2],

由引理2可得

当2≤k≤m,t∈(tk,tk+1]时,重复上述过程,可得积分方程(4)。

我们在下列假设条件下讨论这一问题。

H1:A:X→X是有界线性算子，且存在M>0,使得‖A‖≤M;

H2: f:J×X×X→X是连续函数且存在常数l1、l2>0,使得对任意t∈J,u,v,x,y∈X,有‖f(t,x,u)-f(t,y,v)‖≤l1‖x-y‖+l2‖u-v‖;

H3: h:△×X→X是连续函数且存在l3>0,使得对任意(t,s)∈△,u,v∈X,有‖h(t,s,u)-h(t,s,v)‖≤l3‖u-v‖;

H4: Ik:X→X是连续函数且存在l4>0,使得对任意u,v∈X,k=1,…,m,有‖Ik(u)-Ik(v)‖≤l4‖u-v‖;

H5:g:PC(J:X)→X连续，且存在l5>0,使得‖g(x)-g(y)‖≤l5‖x-y‖PC, x,y∈PC(J;X)。

定理1 若假设H1～H5成立, 则分数阶脉冲积分微分方程(1)～(3)当条件

l5+ml4+(M+l1+bl2l3)bα/Γ(α+1)<1

(5)

成立时, 必有解且解是唯一的。

令x,y∈PC(J;X),则对t∈J,有

由PC(J; X)中的最大值范数定义可得

‖Gx-Gy‖PC]≤[l5+ml4(M+l1+bl2l3)bα/Γ(α+1)]‖x-y‖PC。

再由(5)式可知,G是一个压缩映射，根据Banach压缩原理，G有唯一的不动点,即为方程(1)～(3)的解。证明结束。

[1]BonillaB,RiveroM,Rodriguez-GermaL,etal.Fractionaldifferentialequationsasalternativemodelstononlineardifferentialequations[J].ApplMathComput,2007,187(1):79-88.

[2]LakshmikanthamV.Theoryoffractionalfunctionaldifferentialequations[J].NonlinearAnal,2008,69(10):3337-3343.

[3]JiSC,LiG.Solutionstononlocalfractionaldifferentialequationsusinganoncompactsemigroup[J].ElectronJDifferEqu,2013(240):1-14.

[4]BenchohraM,SebaD.ImpulsivefractionaldifferentialequationsinBanachspaces[J].ElectronJQualTheoryDifferEqu,2009(8):1-14.

[5] 嵇绍春,李刚.一类分数阶脉冲微分方程的解[J].扬州大学学报：自然科学版, 2012,15(4):12-15.

[6]KilbasAA,SrivastavaHM,TrujilloJJ.TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].Amsterdam:Elsevier,2006.

[7]FeckanM,ZhouY,WangJ.Ontheconceptandexistenceofsolutionforimpulsivefractionaldifferentialequations[J].CommumNonlinearSciNumerSimul,2012,17(7):3050-3060.

(责任编辑：尹晓琦)

“结构检测与加固”栏目

栏目主持人介绍：孙文彬(1969-)，男，教授，博士生，硕士生导师，淮阴工学院改革发展研究中心副主任，江苏省工程结构鉴定与加固改造委员会委员，长期从事混凝土结构、钢-混凝土组合结构、结构鉴定与加固、结构无损检测等方向的教学与研究工作，2000年以来，发表论文80余篇(其中SCI/EI收录20余篇)，授权结构加固方向专利两项。

栏目主持人按语：专栏与淮安市建筑工程检测中心有限公司合作以来，关注建筑结构的检测和既有结构的加固与改造。本期刊发了扬州大学曹大富课题组的研究成果，钢筋混凝宽柱双梁托环节技术，曹老师长期从事工程结构的加固改造研究，主持国家基金2项。本期栏目还刊发了一篇船闸加固工程及一篇砖木结构建筑的抗震振动试验研究。三文并发，以飨读者。

Solutions to Fractional Impulsive Integro-differential Equations

WEN Shu1,JI Shao-chun1*,WANG Min2

(1.Faculty of Mathematics and Physics, Huaiyin Institute of Technology, Huai'an Jiangsu 223003, China;2.Library, Huaiyin Institute of Technology, Huai'an Jiangsu 223003, China)

By using fractional calculus and fixed point theorems, we discussed a class of fractional impulsive integro-differential equations. The main method is to transform fractional integro-differential equations into equivalent integral equations. Then the solution existence is obtained under Lipschitz conditions according to Banach contraction principle.

fractional integro-differential equations; impulsive conditions; existence of solutions

2015-07-14

江苏省高校自然科学研究面上项目(14KJB110001)；2015年江苏省自然科学基金青年基金项目(BK20150415)

温书(1961- )，男，江苏淮安人，副教授，主要从事非线性分析与泛函分析研究；*为通讯作者。

O175.15

A

1009-7961(2015)05-0015-03