谢英超，程 燕(．陆军军官学院研究生管理大队，安徽合肥 3003;．陆军军官学院基础部，安徽合肥 3003)



一类非线性时滞微分方程的奇异摄动研究

谢英超1，程 燕2
(1．陆军军官学院研究生管理大队，安徽合肥 230031;2．陆军军官学院基础部，安徽合肥 230031)

摘 要:研究了一类依赖于小参数的小时滞微分方程．首先利用拟合函数法将双参数问题转换为便于分析的单参数问题，再利用校正函数法得到了方程的一致有效的渐近解，并利用微分不等式理论给出了证明，最后将其与数值解进行了精度比较．结果表明该摄动方法是有效的，从而可以更好地分析这类方程的解的性态．

关键词:奇异摄动;时滞微分方程;非线性;渐近解

引用格式:谢英超，程燕．一类非线性时滞微分方程的奇异摄动研究［J］．安徽师范大学学报:自然科学版，2015，38(2) :129－133．

引言

非线性时滞微分方程的研究目前仍然是国内外工程界和学术界十分关注的重点和热点之一［1］，在许多领域都有重要的作用［2］．许多学者利用奇异摄动的理论和方法研究时滞微分方程，取得了可喜的成果［3－15］．但对于依赖于小参数的小时滞微分方程研究较少，本文对解这类方程进行了一定的探索．

考虑如下一类依赖于小参数的小时滞微分方程:

其中:ε是正的小参数，τ是正的小时滞参数，Τ为适当的正数，φ(t)为初始函数;记［u(t)］= u(t－τ)．问题(1)－(2)是一个具有两参数的非线性时滞微分方程的奇异摄动问题．

为研究方便，现作如下假设:

［H1］当τ→0时，ε= O(τ) ;

［H2］f和φ在各自的定义区间内为充分光滑函数，且存在常数δ1≥0，δ2＞0，使得fu(t，u，［u］)≤－δ1≤0，f［u］(t，u，［u］)≤－δ2＜0，(t，u，［u］)∈［0，T］×R×R; ［H3］退化问题f(t，u(t)，u(t) ) = 0在t∈［0，T］存在唯一的连续可微解u*(t)．

1　问题的奇异摄动研究

问题(1)－(2)为依赖于小参数的小时滞微分方程，由于其奇异的双重性，研究起来较为困难．本文考虑用一个关于时滞参数的光滑函数去拟合这个小参数，从而转换为只依赖于小时滞参数的问题．事实上，对于实际模型、工程应用等问题，人们更关心的是给定参数下的方程的解，所以这种方法在实际应用中具有一定的活力．

由假设［H1］知，当ε∈(0，ε0)时，其中ε0为适当小的正常数，ε可以表示为τ的幂级数之和，即存在足够小的正常数τ0，当τ∈(0，τ0)时，可选择适当的足够光滑的函数g(τ)，使得其中gi= g(i)(0)为适当的常数，且g(0) = 0，g1≠0．

对于t∈［0，T］，寻找问题(1)－(2)具有如下形式的解

其中U(t，τ)为外部解，设其形式为

满足时滞微分方程(1) ;ξ= t/τ为伸长变量，V(ξ，τ)为初始层校正项，设其形式为

2　外部解

首先按τ展开u(t－τ)2

将式(3)、(4)和(7)代入(1)式，按τ展开方程两边，合并τ的同次幂项．关于τ0，可得:

f(t，u0(t)，u0(t) ) = 0．

(8)由假设［H3］知，方程(8)存在唯一解，且

u0(t) = u*(t)．

(9)关于τi(i = 1，2，…)的系数，记fu= fu(t，u0(t)，u0(t) )，f［u］= f［u］(t，u0(t)，u0(t) )可分别得到: (fu+ f［u］) ui= Gi－Fi，

(10)

，…，故Gi为逐次已知的函数，可以证明Fi也为逐次已知的函数，特别地

其中fuu= fuu(t，u0(t)，u0(t) )，fu［u］= fu［u］(t，u0(t)，u0(t) )，f［u］［u］(t，u0(t)，u0(t) )．

方程(10)退化为代数方程，由假设［H2］可知，(fu+ f［u］)≠0，故可依次求得其唯一解为ui(t) (t∈［0，T］)，i = 1，2，…．至此，外部解已经构造完成，但它未必满足初始条件(2)，故还需要构造初始层校正项．

3　初始层校正项和解的渐近表达式

令t = 0代入式(4)，并由条件(2)可得

因为完全展开式(4)和外部展开式(5)满足时滞微分方程(1)，所以初始层校正项V(ξ，τ)必须满足

对于初始层校正项vi(ξ)可以通过逐步积分法，在区间s≤ξ≤s + 1(s = 0，1，2，…)上逐次求得．由式(3)、(5)、(6)、(11)、(12)和(13)，关于τ0，v0(ξ)，必为

在初始条件v0(0) =φ(0)－u0(0)的连续解，通过逐段积分可求得v0(ξ)．在满足假设［H1］和［H2］的前提下，可以证明v0(ξ)是当ξ→∞时指数型地趋于零的函数．关于τ1，v1(ξ)必为

在初始条件v1(0) =－u1(0)的连续解，通过逐段积分可求得v1(ξ)．在满足假设［H1］和［H2］的前提下，可以证明v1(ξ)也是当ξ→∞时指数型地趋于零的函数．

关于τi(i = 2，3，…)，vi(ξ)必为

在初始条件vi(0) =－ui(0)的连续解，其中，为逐次已知的函数，可以证明i和也为逐次已知的函数．在满足假设［H］1

和［H2］的前提下，可以证明vi(ξ)也是当ξ→∞时指数型地趋于零的函数．’’至此，外部解和初始层校正项构造完成，得到问题(1)－(2)解的形式渐近展开式为

4　渐近解的一致有效性

我们有如下定理:

定理 在满足假设［H1］－［H2］的前提下，当ε∈(0，ε0)，τ∈(0，τ0)时，依赖于小参数的小时滞微分方程初值问题(1)－(2)存在一个解u，并具有形如式(17)的一致有效的渐近展开式．

证明 首先构造如下形式的辅助函数α(t，τ)和β(t，τ)

(18) (19)其中为r足够大的正数，在证明中将给定，

显然有

对足够大r的和τ∈(0，τ0)，有

下面证

事实上，将式(3)、(18)和(20)代入(23)，对于0≤ξ≤1和τ∈(0，τ0)，存在一个常数R＞0，有

由式(21)、(22)、(23)和(24)，并利用微分不等式理论［16］，可得

由此可得，依赖于小参数的小时滞微分方程初值问题(1)－(2)存在一个解u，并具有形如式(17)的一致有效的渐近展开式．定理证毕．

5　渐近解与数值解的精度比较

为比较所求渐近解与数值解的精度，举一个特殊的例子来说明，取定问题(1)－(2)的一组参数为:ε= 0．01，τ= 0．01，并且f(t，u(t)，［u(t)］) = 2t－u(t)－［u(t)］，φ(t) = ei，选取适当函数g(τ) =τ，则g1= 1，gk= 0(k = 2，3，…)．用上述摄动方法，可得问题(1)－(2)的外部解为

u0(t) = t，ui(t) = 0(i = 1，2，…)初始层校正项v0(ξ)为

在初始条件v0(0) = 1的连续解，通过逐段积分可求得v0(ξ)．故解的一次渐近展开式为

问题(1)－(2)的摄动解与数值解在ε=τ= 0．01，φ(t) = ei时的变化曲线如图1所示．

由图1可见，摄动解与数值解曲线非常接近，表明所述摄动方法是一个简单而有效的方法．

6　结束语

本文研究了一类依赖于小参数的小时滞微分方程，在一定假设条件下对这类方程的解进行了探索，利用拟合函数法和校正函数法得到了方程的一致有效的渐近解．结果表明本文所述方法是一个简单而有效的近似解析方法，不同于数值解法，它还能继续进行解析运算．所以，能够利用得到的渐近展开式更好地对这类方程解的性态进行更深层次的分析和研究，从而能更好地应用到物理、机械和工程技术等领域中．

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Singularly Perturbed Study on a Class of Nonlinear Delay Differential Equation

XIE Ying-chao1，CHENG Yan2
(1．Graduate Management Unit，Army Officer Academy，Hefei 230031，China;2．Basic department，Army Officer Academy，Hefei 230031，China)

Abstract:In this paper，a class of small delay differential equation depending on a small parameter is considered．Firstly using the fitting function method，the two parameters problem is converted to a single parameter problem for facilitating analysis．Then using the correction function method，the uniformly valid asymptotic solution of the equation is obtained，which is proved by using the theory of differential inequalities．Finally it’s compared with the numerical solution．The result shows that the perturbation method is effective，so we can analyze the behavior of solution for the class of delay differential equation much better．

Key words:singular perturbation; delay differential equation; nonlinear; asymptotic solution

作者简介:谢英超(1989－)，男，硕士研究生，研究方向:应用数学．

基金项目:国家自然科学基金项目(11202106)，安徽省自然科学基金项目(1408085MA06)．

收稿日期:2013－12－12

DOI:10．14182/J．cnki．1001－2443．2015．02．005

文章编号:1001－2443(2015) 02－0129－05

文献标志码:A

中图分类号:O175．7