王喜凤，周晓明，周建钦

（安徽工业大学计算机科学与技术学院，安徽马鞍山243002）

具有第二下降点8错线性复杂度的2n周期序列

王喜凤，周晓明，周建钦

（安徽工业大学计算机科学与技术学院，安徽马鞍山243002）

基于构造方法和方体理论，研究以2错线性复杂度为第一下降点并以8错线性复杂度为第二下降点的周期为2n的二元序列，分析第一下降点与第二下降点的关系；并给出所有可能的8错线性复杂度的取值形式，同时推导出以2错线性复杂度为第一下降点并以8错线性复杂度为第二下降点的2n周期二元序列的完整的计数公式。使用文中方法，同样也可给出其他以k错线性复杂度第二下降点或第三下降点的二元序列相关性质。

周期序列；线性复杂度；k错线性复杂度；方体理论

作为衡量密钥流序列强度的一个重要指标，周期序列的线性复杂度在研究流密码的安全性方面有很重要的意义。将能够产生序列s的最短的LFSR（线性反馈移位寄存器）的级数定义为s的线性复杂度，记为L（s），可由Games-Chan算法[1]计算。

线性复杂度高的序列并不一定保证序列是安全的，有些序列的线性复杂度极不稳定，若改变其一个周期中的若干个元素，会使这些序列的线性复杂度发生很大的变化，此种序列仍然属于密码学上的弱序列。我国学者丁-肖-单[2]最先注意到这个问题，因而提出了流密码的稳定性理论，并提出了重量复杂度、球体复杂度等流密码稳定性度量指标。国外学者Stamp和Martin[3]随后引入了类似“球体复杂度”的错线性复杂度Lk（s）：设序列s是周期为N的q元序列，当改变s一个周期中至多k（0≤k≤N）位，得到所有序列的线性复杂度中的最小值，可由B-M算法[4]及其改进算法计算，并引入了k错线性复杂度曲线的概念。

关于k错线性复杂度下降点，Etzion[5]提出了关键错误线性复杂度分布CELCS（critical error linear complexity spectrum）。CELCS由一系列关键错误点（k，Lk（s））构成，满足Lk（s）＞Lh（s），k＜h，序列线性复杂度的下降只发生在这些关键错误点处。对第一次下降点已有许多学者进行了研究，如文献[6-7]。

文中研究以2错线性复杂度为第一下降点并以8错线性复杂度为第二下降点的周期为2n的二元序列，分析第一下降点与第二下降点的关系，并给出了8错线性复杂度所有可能的取值，推出满足已知2错和8错线性复杂度的序列计数公式，并通过计算机编程进行验证。

1 预备知识与引理

设有限域GF（2）上的两个向量X=（x1，x2，…，xn）和Y=（y1，y1，…，yn），则定义X+Y=（x1+y1，x2+y1，…，xn+yn）。文中所涉及的序列均为有限域GF（2）上的序列，其中的运算都是模2运算。

设sN为序列s的一个周期，当N=2n时，sN可记为s（n），以下讨论的都是周期为2n的二元序列。周期为N的序列s的Hamming重量定义为在s的每个周期中非零元素的个数，记为WH（s）。序列中两元素间距离指的是两个元素的下标之差，如周期为N序列，则元素si，sj的距离为（j-i），其中0≤i＜j≤N。

引理1设周期为N=2n的二元序列s（n），其线性复杂度L（s（n））=2n，当且仅当该序列一个周期中的Hamming重量为奇数。

引理2[8]设N（L）为线性复杂度为L的周期为2n的二元序列的个数，则当L=0时，N（L）=1；当1≤L≤2n时，N（L）=2L-1。

引理3已知序列s1（n）和s2（n）是周期为2n的二元序列，若L（s1（n））≠L（s2（n）），则有L（s1（n）+s2（n））= max｛ L（s1（n）），L（s2（n））｝；若L（s1（n））=L（s2（n）），则有L（s1（n）+s2（n））＜L（s1（n））。

设s是一个序列，s的k错线性复杂度为c，e为Hamming重量为k的误差序列，可假设s=t+e，L（t）=c。文中研究周期为2n的二元序列s的k错线性复杂度的若干性质，为此引入重要框架：设集合S=｛t|L（t）=｝c，E=｛e|WH（e）=k｝，SE=｛t+e|t∈S，e∈E｝，其中t是线性复杂度为c的序列，最终从序列SE中筛选满足Lk（t+e）=c的序列t+e。

对于给定的线性复杂度c，在求满足Lk（t+e）=c的序列t+e的过程中需排除两类序列：第一类序列是t+ u∈SE，但Lk（t+u）＜c；第二类序列是x+u，y+v∈SE，Lk（x+u）=Lk（y+v）=c，且x=y，u=v，但x+u=y+v，其中x，y∈S，u，v∈E。

对于Lk（t+u）＜c的情况，相当于存在序列v，使Lk（t+u）=Lk（t+u+v）＜c。因为L（t）=c，由引理3知，L（u+v）= c，等价于检查是否存在序列v，使L（u+v）=c。

对于Lk（x+u）=Lk（y+v）=c，且x+u=y+v的情况。因x+u=y+v，则x+y=u+v；又因L（x）=L（y）=c，由引理3可知，L（x+y）＜c，则L（u+v）＜c，等价于检查是否存在序列v，使L（u+v）＜c，其中WH（u）=WH（v）=k。若存在这样的序列v，则统计v的个数。

2 具有第二下降点8错线性复杂度的2n周期二元序列计数

该节中，首先介绍方体理论[9]的相关知识。接着研究序列k错线性复杂度的第一下降点与第二下降点的关系，给出k错线性复杂度的所有可能取值形式，并推出以2错线性复杂度为第一下降点并以8错线性复杂度为第二下降点的周期为2n的二元序列s（n）的计数公式。

定义1设序列s中两个非零元素的位置之差为（2x+1）2y，其中x和y均为整数，则称这两个元素的距离为2y；若这两个元素组成一条边，则称边长为2y；若这两个元素组成一条棱，则称棱长为2y。

定义2设周期为2n的二元序列s中有2m个非零元素，0≤i1＜i2＜…＜im＜n。若m=1，则s中有2个非零元素，且距离为2i1，称为1方体。若m=2，则s中有4个非零元素组成一个矩形，边长分别为2i1和2i2，称为2方体。一般情况，s中有2m-1个非零元素组成（m-1）方体，余下2m-1个非零元素也组成（m-1）方体，且2m-1对元素之间的距离均为2im，则称序列s称为m方体，且称序列s的线性复杂度为方体的线性复杂度。

定理1设序列s是周期为2n的二元序列，序列中非零元素组成一个m方体，棱长分别为2i1，2i2，…，2im，0≤i1＜i2＜…＜im＜n，则线性复杂度L（s）=2n-（2i1+2i2+…+2im）。

定理2已知周期为2n的二元序列s（n），且L（s（n））＜2n。

（1）L8（s（n））＜L7（s（n））=L6（s（n））=…=L2（s（n））＜L1（s（n））=L（s（n）），当且仅当s（n）可分解为若干方体c1，c2，c3，…，cn，L（c1）＞L（c2）＞L（c3）…＞L（cn），其中c1为1方体，c2为3方体，且c1和c2的非零元素均不相交，或有一个重合；（2）L8（s（n））＜L7（s（n））=L6（s（n））=…=L2（s（n））＜L1（s（n））=L（s（n）），当且仅当L2（s（n））=2n-（2j1+2j2+2j3），0≤j1＜j2＜j3＜n，且L2（s（n））≠2n-（1+2+22）。

证明（1）①必要性：当1方体c1和3方体c2中的非零元素互不相交时，去掉c1中的所有非零元素，或当c1和c2中有一个非零元素重合时，在重合位置为c2的补一个非零元素，此时，c2是s（n）的2错线性复杂度序列的最大方体。由Kurosawa[6]知，对周期为2n的二元序列s（n）的Lk（s（n））严格小于L（s（n））=2n-（2i1+2i2+…+ 2im）的k的最小值kmin=2m。又因c2是3方体，则L2（s（n））=L4（s（n））=L6（s（n））。当c1和c2的非零元素互不相交时，在c1上增加6个非零元素，使c1变为与c2同类型的3方体，则c1，c2可构成一个4方体。因此，s（n）的8错线性复杂度序列最大的方体为4方体，线性复杂度下降，即L8（s（n））＜L2（s（n））。当c1与c2中的非零元素有一个重合时，将c1+c2中8个非零元素均变为零素，此时c3是s（n）的8错线性复杂度序列中的最大方体，则L8（s（n））＜L2（s（n）），线性复杂度同样会下降。

②充分性：假设c1，c2与c3均是1方体，其中非零元素互不相交，且在c1，c2，c3中增加2个元素，不能构成3方体。当c1与c2的非零元素互不相交时，将c1和c2的非零元素变为零，线性复杂度下降，L4（s（n））＜L2（s（n））与L2（s（n））=L4（s（n））矛盾，则此情况不存在。

假设c1是1方体，c2是2方体，c1与c2的非零元素既可以不相交，也可有一个重合。当c1与c2的非零元素不相交时，去掉c1和c2的非零元素，则线性复杂度下降，即L6（s（n））＜L2（s（n）），与已知条件矛盾。当c1和c2有一个非零元素重合时，去掉c1+c2中的非零元素，则线性复杂度下降，即L4（s（n））＜L2（s（n）），与已知条件矛盾。

假设c1是1方体，c2是4方体，c1与c2的非零元素既可以不相交，也可以有一个重合。因c2是4方体，需改变至少16个元素线性复杂度才可能会下降，与L8（s（n））＜L2（s（n））矛盾。

综上所述，只有c1为1方体，且c2为3方体的情况满足已知条件。

（2）由（1）易知，L8（s（n））＜L2（s（n））＜L（s（n）），当且仅当L2（s（n））=2n-（2j1+2j2+2j3），其中0≤j1＜j2＜j3＜n。接着证明L2（s（n））≠2n-（1+2+22），因c1为1方体，c2为3方体，若L（c2）=2n-（1+2+22），则L（c1）=2n-1或2n-2或2n-22，则方体c1，c2中各存在1个非零元素，使得这两个元素间的距离d＞22。假设L2（s（n））=2n-（2j1+2j2+2j3），则2j3≥d＞ 22，可得L2（s（n））≠2n-（1+2+22）。

下面研究以2错线性复杂度为第一下降点并以8错线性复杂度第二下降点的周期为2n的二元序列的L8（s（n））的所有可能取值情况。

定理3设序列s（n）为周期为2n的二元序列，如果L8（s（n））＜L2（s（n））＜L（s（n）），且L（s（n））=2n-2i0，L2（s（n））=2n-（2j1+2j2+2j3），0≤j1＜j2＜j3＜n，则

证明以下证明基于框架：SE={t+e|t∈S，e∈E}，其中L（t）=L8（s（n）），WH（e）=8，L2（e）=2n-（2j1+2j2+2j3）。使用筛选法，从SE中筛选出L8（t+e）=L的序列t+e。

（1）当L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+…+2im），m＞4时，s（n）的8错线性复杂度序列中有2m个非零元素。关于Lk（t+u）＜c的情况，等价于存在序列v，使得L（u+v）=c。因WH（u）=WH（v）=8，则序列u+v的最多有16个元素，小于2m，所以L（u+v）不可能等于L8（s（n）），即不存在序列v，使得L（u+v）=L8（s（n））。

（2）当L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3+2i4）时，

①用反证法证明L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3+2i4），其中{i1，i2，i3，i4}≠{j1，j2，j3，j4}。假设n=5，i0=1，j1=0，j2=2，j3=4，u（5）={1110 1100 0000 0000 0100 1100 0000 0000}，则存在序列v（5）={0001 0011 0000 0000 1011 0011 0000 0000}，使得u（5）+v（5）={1111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0000}，则L（u（5+v（5））=2n-（2j1+2i0+2j2+2j3）=25-（1+ 2+4+16）＜L=L8（s（n）），因此，L8（s（n））≠2n-（2i1+2i2+2i3+2i4），其中{i1，i2，i3，i4}={j1，i0，j2，j3}。

用型号为XRF-1800X的射线荧光光谱仪，对AE44雷达外壳本体试样进行元素定量分析；用型号为HB-3000B布氏硬度计，测试AE44雷达外壳的宏观硬度；用型号为CMT5105电子万能试验机，测试试样的拉伸性能；用型号为MR2000型金相显微镜，观察试样的显微组织；用型号为D/MAX2500V的X射线衍射仪，对试样的物相组成进行分析；用型号为JSM-6490LV扫描电子显微镜拍试样扫描照片，并且用与之匹配的INCA能谱仪对相应位置进行成分定性和定量分析．

②用反证法证明L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3+2i4），其中{i1，i2，i3，i4}≠{0，1，2，3}，即L8（s（n））=25-（20+21+22+23）。

因为，L8（s（n））＜2n-（2j1+2j2+2j3）＜2n-2i0，则2i0＜2j1+2j2+2j3＜1+2+4+8。

假设L（t）=25-（20+21+22+23），对任意u∈E有L2（t+u）=2n-（2j1+2j2+2j3），易证L8（t+u）＜2n-（20+21+22+23）。

（3）当L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3）时，下面使用反证法证明{j2，j3}{i1，i2，i3}，即证{j2，j3，x}≠{i1，i2，i3}，其中x为一正整数，0≤x＜n，x≠j2，j3。

假设s5是周期为25的二元序列，且L（s（5））＜25。若L（s（5））=2n-2i0=25-1，L2（s（5））=25-（2+22+23），则L8（s（5））≠2n-（2j2+2j3+2x）=25-（22+23+2x）。

设L8（s（5））=25-（22+23+2x），当x=0，1时，L8（s（n））＞L2（s（n）），则x只能取4。根据框架SE={t+e|t∈S，e∈E}，使S={t|L（t）=25-（2+23+24）}，E={e|WH（e）=8}，最后根据筛选法从集合SE中筛选出满足L8（t+e）=25-（2+23+24）的序列t+e。

现考虑s+u∈SE，L8（s+u）＜25-（22+23+24）的情形，等价于检查是否存在序列v∈E，使得L（u+v）=25-（22+ 23+24）。

若已知序列u={1110 1010 0000 0000 0010 1010 0000 0000}，则存在一个序列v={1100 1000 0010 0000 1000 0010 0010}∈E，使L（u+v）=25-（22+23+24），则L8（u+v）＜25-（22+23+24）。又L2（t+v）=25-（2+22+23），则{i1，i2，i3}≠{j2，j3，x}，即{j2，j3}{i1，i2，i3}。同理可得，{j1，j2}{i1，i2，i3}，{j1，j3}{i1，i2，i3}。

定理4设s（n）为周期为2n的二元序列，且L（s（n））=2n-2i0

（1）若L8（s（n））＜L2（s（n））＜L（s（n）），其中L2（s（n））=2n-（2j1+2j2+2j3），0≤j1＜j2＜j3＜n，

则满足以上条件的周期为2n的二元序列s（n）的个数为

其中，当L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3+2i4）时，im=i4；当L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3）时，im=i3；L=L8（s（n））；，，。

（2）如果L8（s（n））=0，则N（s（n））=28n-3j3-2j2-j1-i0-11/γ。

证明令S={t|L（t）=L}，E={e|WH（e）=8}，SE={t+e|t∈S，e∈E}，其中序列t的线性复杂度，序列e满足L2（e）=2n-（2j1+2j2+2j3）及WH（e）=8。最后，从集合SE中筛选出满足L8（t+e）=L的序列t+e。

（1）由引理2可知，线性复杂度L（t）=L的周期为2n的二元序列的个数2L-1。

（2）以下证明满足条件WH（e）=8和L2（e）=2n-（2j1+2j2+2j3）的序列e的个数为N（e）=28n-3j3-2j2-j1-i0-11/γ。

①假设s（j1）是周期为2j1的二元序列，若L（s（j1））=2j1，WH（s（j1））=1，则序列s（j1）的个数为N（s（j1））=2j1；

②若j2＞j1，周期为的二元序列s（j2），L（s（j2））=2n-2j1=2j2-2j1，WH（s（j2））=2，因L（s（j2））-L（s（j1+1））=（2j2-2j1）-（2j1+1-2j1）=2j2-1+2j2-2+…+2j1+1有（j2-j1-1）项，则序列s（j2）的个数为N（s（j2））=（22）j2-j1-1×N（s（j1+1））=（22）j2-j1-1×2j1= 22j2-j1-2；

因此，满足L（s（j2+1））=2n-（2j1+2j2）=2j2+1-（2j1+2j2）=2j2-2j1，WH（s（j2+1））=4的周期为2j2+1的二元序列s（j2+1）的个数为N（s（j2+1））=N（s（j2））=22j2-j1-2；

③若j3＞j2＞j1，则周期为的二元序列s（j3），满足，又因多项式L（s（j3））-L（s（j2+1））=2j3-1+2j3-2+…+2j3+1共有（j3-j2-1）项，则序列s（j3）的个数为N（s（j3））=（24）j3-j2-1×N（s（j2+1））=（24）j3-j2-1×22j2-j1-2= 24j3-2j2-j1-6；

因此，满足L（s（j3+1））=2j3+1-（2j1+2j2+2j3）=2j3-2j2-2j1，WH（s（j3+1））=8的周期为2j3+1的二元序列s（j3+1）的个数为N（s（j3+1））=N（s（j3））=24j3-2j2-j1-6。

由上可知，满足e∈E，L2（e）=2n-（2j1+2j2+2j3）的序列e的个数为N（e）=24j3-2j2-j1-6，则满足u∈E，L2（u）=2n-（2j1+2j2+2j3）的序列u的个数为。

其中，当i0＜j2时，γ=1；当i0＞j2时，γ=2。

下面举例说明当i0＞j2时，γ=2。假设n=4，i0=2，j1=0，j2=1，j3=3，u（4）={1111 1000 0111 0000}，则移动u（4）中的非零元素得，使。

接着举例说明当i0＞j2时，γ=1。假设n=4，i0=1，j1=0，j2=2，j3=3，u（4）={1110 1100 0100 1100}，则由序列u（4）移动相应的非零元素仅能找到唯一的序列，v（4）={1100 1100 1100 1100}，使L（v（4））=24-（20+21+23）。

（3）因s+u，t+v∈SE，L8（s+u）=L8（t+v）=L，其中s≠t，u≠v但s+u=t+v，检查是否存在序列v，WH（u）=WH（v）=8，使L（u+v）=L（s+t）＜L，若存在，则统计满足条件的序列v的个数。

①情形一：对于i0

对于∀u∈E，存在1个序列v，使L（u+v）=2n-（2j1+2i0+2j2+2j3）＜L，即δ=1；存在3个序列v，使L（u+v）=2n-（2j2+2i0+2j3）＜L，即δ=2；存在7个序列v，使L（u+v）=2n-（2j1+2i0+2j3）＜L，即δ=3；存在15个序列v，使L（u+v）= 2n-（2i0+2j3）＜L，即δ=4。

②情形二：对于im＜ω＜n

对于im＜ω＜n，存在255×（28）ω-im-1个序列v，使2n-（2j2+2j3+2ω）＜L，或2n-（2j1+2j3+2ω）＜L，或2n-（2j3+2ω）＜L，或2n-（2j2+2j2+2ω）＜L，或2n-（2j2+2im+2ω）＜L，或2n-（2j1+2ω）＜L，或2n-（2i0+2ω）＜L，或2n-2ω＜L。

对任意有8个非零元素的序列v，周期翻倍且非零元素个数不变时，可得28个新序列。因此，存在255+ 255×28+…+255×（28）n-im-2=（28）n-im-1-1个序列v，使L（u+v）＜L。

因此，存在（28）n-im-1-1=（28）n-i3-1-1=（28）6-4-1-1=255个序列v，使L（u+v）＜L。当j3＜im，且仅2n-（2j2+2j3+2im）＜L时，序列v以1×（28）n-im-1递增，即ε=1；当2n-（2j2+2j3+2im）＜L时，序列v以3×（28）n-im-1递增，即ε=2；当时，序列v以7×（28）n-im-1递增，即ε=3；当2n-（2j3+2im）＜L时，序列v以15×（28）n-im-1递增，即ε=4；当时，序列v以31×（28）n-im-1递增，即ε=5；当2n-（2j2+2im）＜L时，序列v以63×（28）n-im-1递增，即ε=6；当2n-（2j1+2im）＜L时，序列v以127×（28）n-im-1递增，即ε=7。

因为，当δ＞0时，2n-（2j1+2j2+2i0+2j3）＜L＜L2（s（n））=2n-（2j1+2j2+2j3），即2n-（2j1+2j2+2i0+2j3）＜2n-（2i1+2i2+…+2im）＜2n-（2j1+2j2+2j3），则j3=im；又因当ε＞0时，j3＜im。所以δ，ε不能同时为正整数，即δ，ε中至少有一个为0。

特殊地，当ε=0，且δ=0时，对于∀u∈E，j2＜ξ＜j3，存在1个序列v，使L（u+v）=2n-（2j2+2ξ+2j3）＜L，即λ＝1；存在2个序列v，使L（u+v）=2n-（2j1+2ξ+2j3）＜L，即λ＝2。

为了进一步验证定理4，下面举出一个例子，其正确性已用计算机程序进行了验证。

例1n=5，i0=2，j1=0，j2=1，j3=3，i1=0，i2=1，i3=2，i4=4。L=L8（s（n））=2n-（2i1+2i2+2i3+2i4

）=25-（1+2+4+16）=9，因i0＞j2，则γ=2；因2n-（2j1+2j2++2i0+2j3）=25-（1+2+4+8）=17＞L，则δ=0；又因j3＜i4，且2n-（2j3+2im）=25-（8+16）=8＜L，则ε=3；因ε≠0，δ=0，则λ=0，则满足L（s（5））=28，L2（s（5））=21，L8（s（5））=9的周期为25的二元序列s（5）的个数为

3 结语

文中给出以8错线性复杂度为第二下降点的所有可能取值形式，并推出具有2错线性复杂度和8错线性复杂度序列的完整计数公式。据文中的研究方法，可对其他具有第二下降点错线性复杂度序列进行研究，如k=6，其中2错线性复杂度为第一下降点，且6错线性复杂度为第二下降点。亦可研究以错线性复杂度为第三下降点的周期序列，如k=5，即以1错线性复杂度为第一下降点，3错复杂度为第二下降点，5错复杂度为第三下降点。

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2n-periodic binary sequences with 8-error linear complexity as the second descent point

WANG Xifeng，ZHOU Xiaoming，ZHOU Jianqin
（School of Computer Science&Technology，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243002，China）

Based on the structural approach and cube theory，we investigated the 2n-periodic binary sequences with 2-error linear complexity as the first descent point and 8-error linear complexity as the second descent point and analyzed the relationship between the first descent point and the second descent point.All the possible values of the 8-error linear complexity were given.Then we derived the complete counting functions of 2nperiodic binary sequences with 2-error linear complexity as the first descent point and 8-error linear complexity as the second descent point.With this method，2n-periodic binary sequences with k-error linear complexity as the second or third descent point can be obtained.

periodic sequence；linear complexity；k-error linear complexity；cube theory

TN918.1

A

1672-0687（2015）02-0056-09

责任编辑：艾淑艳

2014-05-06

安徽省自然科学基金资助项目（1208085MF106）；安徽省教育厅自然科学研究项目（KY2013Z025）；国家自然科学基金资助项目（61300059）

王喜凤（1980-），女，山东成武人，讲师，硕士，研究方向：通信，密码学与理论计算机科学。