葛侠，付保川

（1.苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009；2.苏州科技学院电子与信息工程学院，江苏苏州215009）

模糊综合评价建模方法及其应用

葛侠1，付保川2*

（1.苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009；2.苏州科技学院电子与信息工程学院，江苏苏州215009）

针对群体评价过程中遇到的一些问题，诸如变量繁多、结构复杂、多种因素相互交织且对不确定因素难以准确量化等，提出了基于模糊一致性矩阵进行模糊综合评价的新方法，并构建了模糊综合评价模型。该模型综合运用模糊层次分析和模糊综合评价方法，将边界不清、多维性、模糊性等不确定性因素进行模糊量化，然后通过对各种评价因素的分类和权重调节的模糊化处理以及模糊关系合成，实现了基于模糊推理机制进行群体综合评价，提高了群体评价的效率。

综合评价体系；模糊层次分析法；模糊综合评价模型

针对群体评价中评价因素的不确定性、多因素之间相互作用的影响程度难以准确量化、人工统计运算量大且易出现差错等问题，需要构建合理的评价模型[1]、评价体系和评价方法[2]，以便快速有效的得到合理的评价结果。对于群体评价方法，已有多位学者进行了系统化的研究，并在相关领域得到成功应用。例如刘渊卢[3]针信息系统安全整改决策的分类安全评价问题，建立了安全评价层次化结构模型，从而应用模糊综合评价方法较好地解决了系统各分类安全评价的量化问题。刘选林等[4]针对新疆社会安全因素进行分析并构建了层次结构体系，采用模糊层次综合评价法建模并对新疆社会安全危机进行了有效评价。郝咏梅等[5]针对大学生党员质量综合评价问题采用层次分析法建立了评优评价体系，较好地解决了对大学生党员质量进行综合评价的问题。上述层次分析法均需把复杂评价体系进行层次化分类，并建立层次化指标体系。笔者运用模糊层次分析和模糊综合评价相结合的方法构建一种新的综合评价模型，为系统地解决群体评价系统中的不确定性问题提供了新的途径。

1 评价体系的层次化结构

层次分析法的基本思想是根据分析对象的性质和评价的总目标，把评价体系中各种影响因素通过合理分类使之条理化[6]。按照因素间的相互关联以及隶属关系，将各因素依不同性质进行分类，形成一个层次化的结构模型[7-8]。根据对客观因素的规律性认知与判断，对每一种因素的相对重要性给予量化描述。

在深入分析所要研究的评价体系之后，将评价体系中所包含的各种因素划分为不同层次，并将其归纳为决策层、准则层、因素层。层与层之间的关系可以由相对权重表示。

在建立层次结构以后，上下层之间的隶属关系就被确定了，在此基础上，需要对每一层次中各因素的相对重要性作出判断，为此需要引入模糊判断矩阵。

记：决策集为A，准则集为B，因素集为C。

A={A1，A2，…，At}，B={B1，B2，…，Bn}，C={C11，C12，…，C1k1，C21，C22，…，C2k2，…，Cn1，Cn2，…，Cnkn}。

定义1模糊判断矩阵

B对A的模糊判断矩阵为X，C对B的模糊判断矩阵为Xi（i=1，2，…，n）。有了判断矩阵可以定义相应的权重。

定义2相对权重

B对A的相对权重记为ω1，ω1=（d11，d12，…，d1n），其中d1i表示Bi对A的重要度。

C对B的相对权重记为ω2，ω2=（ω21，ω22，…，ω2n），且ω2i＝（ei1，ei2，…，eiki），其中eiki表示Ci各个元素对相对应Bi的重要度。

定义3合成权重

C层对A层的权重记为ω，称之为合成权重，且ω=ω1◦ω2。其中，◦表示一种合成运算。

2 模糊综合评价模型

模糊综合评价是在考虑多种因素的影响下，运用模糊数学工具对某事物做出的综合评价，也是对群体进行评价的一种有效方法。步骤如下：第一步，确定被评判对象的因素集和评价等级[9]；第二步，分别确定各个因素的权重及合成权重；第三步，确定模糊评价矩阵；第四步，把模糊评价矩阵与合成权重进行模糊运算并进行归一化，得到模糊评价的综合结果。

2.1 因素论域和评价集

（1）因素论域：U＝{C11，C12，…，C1k1，C21，C22，…，C2k2，…，Cn1，Cn2，…，Cnkn}。

（2）评语集：评语集是评价者对被评价对象可能做出的各种评价等级组成的集合，这里用F表示，F＝{f1，f2，…，fm}，m∈N+，m为总的评价等级数。其中ft，t=1，2，…，m代表第t个评价等级。

2.2 评价因素的权重

层次分析法中关键环节是建立判断矩阵，判断矩阵是否科学、合理直接影响到判断的效果。通过分析发现判断矩阵要经过反复检验，确定是否符合一致性标准，如果不符合一致性标准要调整判断矩阵达到一致性是比较困难的。特别是检验判断矩阵一致性的判断标准（C.R＜0.1）的依据可能会有误差[10]。而模糊层次分析法可以克服以上不足，而且文中还改进一般模糊层次分析法中模糊一致矩阵的确定。实际上运用模糊层次分析法确定权重的关键在于构造模糊一致性矩阵。模糊一致性矩阵表示针对上一层某元素该层次与之有关元素之间相对重要性的比较。

2.2.1 模糊一致性矩阵的构造

根据两两因素比较对上一层的贡献度得出两两因素比较的隶属度，取值参照表1，进而构造模糊一致矩阵X″。

表1 0.1-0.9数量标度

假定上一层次的元素A同下一层次中B1，B2，…，Bn的元素有联系，则模糊判断矩阵X=（rij）n×n可表示为

模糊一致性矩阵的性质[4，11]：

设X″=（rij″）n×n是模糊一致性矩阵，则有∀i（i＝1，2，…，n），rii″=0.5；∀i，j（i，j＝1，2，…，n），rij″+rji″=1；∀i，j，k（i，j，k＝1，2，…，n），rij″=rik″-rjk″+0.5；第i行和第j列元素之和等于1。

如何从模糊互补矩阵X变成模糊一致矩阵X″，根据性质需要进行下列变换：

（1）A-B的优先关系变换

当0≤fij≤0.5时，表示元素j比元素i重要；当fij=0.5时，表示元素i和元素j同样重要；当0.5≤fij≤1时，表示元素i比元素j重要。

（2）模糊一致性变换

根据fij的取值范围建立fij与rij′的映射关系，rij′的取值参照表2。

表2 0-1数量标度

按表2得到的新矩阵X′=（rij′）n×n，再进行（1）、（2）式变换可得到模糊一致矩阵。

即

2.2.2 相对权重的确定

根据模糊一致矩阵的性质，可求得B层对A层元素的权重值d1i。

其中n模糊为判断矩阵X″的阶数。

因为X″为模糊一致矩阵，即不用再去检验矩阵的一致性。

采用同样的方法，可以对模糊判断矩阵Xi（i＝1，2，…，n）进行上述推理进而确定ω2。为了下面运算把ω2写成一个方阵，第i行元素是Ci对Bi这层元素的权重值，长度不够的用0补齐。

假定k1≤k2≤…≤kn

其中eiλ（λ＝1，2，…，kn）表示C层对B层相对应的各因素的权重值，L，M表示长度。

2.2.3 合成权重的确定

确定了ω1，ω2之后，将ω1中的第一个值和ω2中第一行各元素相乘；将ω1中的第二个值和ω2中第二行各元素相乘；依次下去最终得到C层各元素对于总目标的合成权重

2.3 模糊综合评价矩阵

单独从一个因素出发进行评价，以确定评价对象对评价集合F的隶属程度，称为单因素模糊评价。在构造了等级模糊子集后，就要逐个对被评价对象从每个因素上进行量化，即确定从单因素来看被评价对象对各等级模糊子集的隶属度，进而得到模糊评价矩阵

其中，∂l1+∂l2+…+∂ln=1；l=k1+k2+…+kn；∂hi（h＝1，2，…，l）表示被评价对象从因素uh来看对ft等级的隶属度，uh∈U，U为因素论域，ft（t＝1，2，…，m）代表第t个评价等级。

2.4 模糊综合评价

R中不同的行反映了某个评价对象从不同的单因素来看对各等级模糊子集的隶属程度。再与合成权重进行合成运算，得到该被评价对象从总体上看各等级模糊子集的隶属程度，即模糊综合评价结果向量S。采用加权平均模型进行合成运算得

模糊综合评价的结果是被评价对象对各等级模糊子集的隶属度，通常是一个模糊向量，如果对多个评价对象比较并排序就需要进一步引入评语集的数值化结果。计算每个评价对象的综合得分则

评价的目的是要从对象集体P={μ1，μ2，…，μr}中选拔符合要求的结果集V。

记n（V）为有限集V的个数，P1={评价单位规定的准则}，若评价单位的评价结果集为s，则

3 模糊综合评价实例

下面通过学生评价说明该模型的有效性。

例某班30名学生，按照如下六个方面17项指标来评价，评价出5名优秀学生。

根据前面的模型进行如下分层：设A为决策集，B为准则集，C为因素集；根据评价要求则n（A）=5。

A={x1，x2，x3，x4，x5}；

B={德育（B1），智育（B2），体育（B3），美育（B4），劳动（B5），实践（B6）}；

C={政治表现（C11），道德修养（C12），品德（C13）；学习态度（C21），学习成绩（C22），基础知识（C23），创新（C24）；身体素质（C31），卫生知识（C32），心理素质（C33），性格（C34）；审美（C41），表现力（C42）；劳动态度（C51），劳动技能（C52）；沟通能力（C61），组织能力（C62）}。

（1）取B对A的判断矩阵

根据（1）-（4）式得模糊一致性矩阵X″=（rij″）6×6

根据（5）式得ω1=（0.216 70.250 00.133 30.083 30.133 30.183 4）T。其他权重可同理得。

（2）计算合成权重并进行综合评价

根据（6）式可得合成权重

根据上例可以得

根据各指标包含的具体要求取评语集F={优，良好，一般，较差，差}。取DE=（100，85，70，55，30）。

根据文献[10]提供的评价方法，对例子中30个学生调查结果进行处理构造隶属度矩阵

R=[0.32，0.16，0.4，0.12，0；0.24，0.48，0.2，0.04，0.04；0.36，0.2，0.36，0.04，0.04；0.6，0.24，0.16，0，0；0.48，0.12，0.28，0.04，0.08；0.44，0.16，0.36，0.04，0；0.12，0.2，0.56，0.04，0.08；0.2，0.1，0.3，0.4，0.1；0.35，0.15，0.1，0.2，0.1;0.22，0.38，0.23，0.17，0；0.2，0.1，0.3，0.4，0.1；0.32，0.16，0.4，0.12，0；0.24，0.48，0.2，0.04，0.04；0.36，0.2，0.36，0.04，0.04；0.6，0.24，0.16，0，0；0.48，0.12，0.28，0.04，0.08；0.24，0.48，0.2，0.04，0.04]

根据（9）式可以得S=（0.320 00.236 20.319 80.090 60.041 0）。

根据（10）式得μ=80.684 3，即该同学的综合评分为80.684。

按照同样的模型对该班级其余学生进行评价，即可得到由每位同学的综合评价结果所形成的结果集P，从P中按P1={评价出5名最优的学生}的准则取出符合规则的子集，即得最终的结果集V。

4 结语

对一个群体进行综合评价是一个多因素相互关联的复杂的过程，为避免评价结果的主观性，文中所建立的模糊评价模型统筹考虑了各种因素的影响，并通过模糊层次分析和模糊综合评价相结合的方法，较客观地实现评价体系的模糊量化，从而较好地解决了群体评价的不确定性问题，这样既避免了传统评价过程中的主观性，又提高了决策的效率。

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Research on modeling and application of fuzzy comprehensive assessment system

GE Xia1，FU Baochuan2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Electronics&Information Engineering，SUST，Suzhou 215009，China）

In view of the problems encountered in the process of group assessment,such as multiple variables, complex structures,intertwined factors,difficult quantification of uncertainty factors,this paper put forward a fuzzy comprehensive evaluation method based on fuzzy consistency matrix and constructed a fuzzy comprehensive evaluation model.This model integrated the use of fuzzy hierarchy analysis and fuzzy comprehensive evaluation method,and carried out the fuzzy quantification of the uncertainty factors,including the unclear boundaries,multidimensionality,and fuzziness.Then through the classification of assessment factors,the fuzzy processing of weights adjustment,and the synthesis of fuzzy relations,the group comprehensive evaluation was realized based on fuzzy reasoning mechanism.This model greatly improves the efficiency of group evaluation.

comprehensive evaluation system；fuzzy analytic hierarchy process；fuzzy comprehensive evaluation model

O29MR（2000）Subject Classification：03C98

A

1672－0687（2015）02－0019－05

责任编辑：谢金春

2014－12－20

江苏省自然科学基金资助项目（BK20131154）

葛侠（1990-），女，安徽亳州人，硕士研究生，研究方向：应用数学。

*通信联系人：付保川（1964-），男，教授，博士，硕士生导师，E－mail：fubc@163.com。