章志生

苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2第40页，习题1.4的研究与拓展第7题为：酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8厘米，上口宽6厘米，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深4cm时，求水面升高的瞬时变化率.

在习题课上，教者先让学生反复品读思考题意，弄明白题目要求我们完成的任务是什么？所给的条件是什么？怎样把已知和所求联系起来？

学生思考后得出如下结论：从所求问题的字面上来看，要我们求高度（长度）关于时间的变化率，从导数的物理意义来看，是要求学生求出水面高度上升的瞬时速度.于是，我们可以构造水面高度h关于时间t的函数关系式，再求导，高度h关于时间t的函数的一阶导数h′（t）就是瞬时速度.具体解答如下：

解 设水面上升的高度为h，注水时间t，水面半径r，由

rh=38，r=38h，则注水量为20t.而杯中水的体积为：13π（3h4）2h，两者相等，解之得：h=（1280t3π）13，即h′（t）=13（1280t3π）-23.而h=4时，t=3π20，代入h′（3π20）=13（12803π·3π20）-23×12803π=

8090π，故当水深4cm时，水面升高的瞬时变化率为

8090πcm/s.本解法是从常规思路来考虑的，整个解题过程中规中矩，很有条理.但是，运算量大，容易出错.那么，有没有简便快捷一些的方法呢？教者抛出问题请同学们思考，并展开讨论.经过激烈的讨论之后，有同学提出：解题过程可以优化一下，

将h=（1280t3π）13的右边整理一下，写成h=（12803π）13t13，求导的时候就不必当成复合函数来做了，h′（t）=13（12803π）13·t-23，运算上就简化了.另外又得到了两种“书写量”很少的解法，教者请相关小组各派一位同学上黑板展示他们的解题过程：姑且先称之为方法二：h3=1280t3π，t=

3π1280h3，得t′=9π1280h2，h=4时，t′=

9π80，由t′=th，ht=809π

，故水面上升的瞬……