☉江苏省如皋市薛窑中学 顾钱睦

从根本教学谈高效教学的重要性

☉江苏省如皋市薛窑中学 顾钱睦

一、根本教学

高中数学知识点较多、纷繁复杂，在高一、高二环节新知教学阶段主要是解决单一的知识体系，随着高三复习教学的开始，不仅要复习单一章节知识体系，还要将多种知识进行整合考查，这使得学生对于数学学习显得较为力不从心.笔者也经历过这样的教学时刻：在复习教学中出现非常茫然的时刻，怎样有效高效地进行数学难点的突破？做一些符合高考要求的复习教学？有时往往无从下手，只能以大量训练来替代.这导致了教师陷入教学无重点无核心状态，学生陷入重复训练无效问题环节，教学效率大打折扣.

近年来，根本教学一词广受欢迎.何为根本教学？人教版主编章建跃先生是这么描述的：“数学考查的是核心概念和核心知识，这些核心即所谓的根本之一.”还有一些根本来自数学性质及高等数学中一些定理，这些东西往往反映在数学问题中，并形成了另一种根本.教学要与时俱进研究当下热点的根本，做好根本教学才能使复习教学真正地做到有的放矢.不妨总结近年的高考数学核心难点问题，我们可以归纳出一些有效的根本，作为“根本教学”的基本模型，如：线性规划问题，函数f（x）= m|x-a|+n|x-b|的图像和性质，向量中的向量恒等式，向量背景下三角形的“心”，关于一元三次函数的图像和性质，关于分式函2值域求解，以及复合最值（min｛max｛f，g，h｝｝或max｛min｛f，g，h｝｝）问题等.掌握这些根本，可以使学生对所学知识归类记忆，并在数学解题中游刃有余、更加自信.

按“根式教学”的原理，笔者可以形象地将它分为六个阶段.第一阶段：确定数学根本；第二阶段：证明数学根本；第三阶段：变形数学根本；第四阶段：完善数学根本；第五阶段：拓展数学根本；第六阶段：链接其他根本.笔者以近期聆听的一堂研究向量恒等式问题的公开课为例，谈谈根本教学对于高效教学的重要性.

二、根本实施案例

笔者对本堂课的整体感觉：春风化雨，润物无声.授课王老师用和风细雨的语言，启发引导学生进入知识的殿堂，使学生获得开启知识大门的金钥匙，整堂课语音语调平和温柔，态度和蔼，润物无声，最终使学生的知识大树根深蒂固，枝繁叶茂！

1.课堂教学目标

在“根本教学”的理念下，对教学目标的制定应该首先确定本节课教学的“根”具体是什么？你的“根”要扎在哪里？扎多深？然后紧紧围绕这个“根”来制定全面、具体、适宜的教学目标.针对本节课，课堂设定的教学目标为：（1）借助向量恒等式解决向量与三角、立体几何的综合问题；（2）掌握数形结合的思想方法.从本节课的设计来看，其“根”应该是向量恒等式（下面介绍），所以首要的教学目标应该是理解掌握向量恒等式.针对目标：本节课设定的教学目标是“借助向量恒等式解决向量与三角、立体几何的综合问题”，在掌握理解向量恒等式的基础上，应用这个结论同时需要数形结合的思想方法，因此这个目标的设计合情合理.

2.课堂教材处理

王老师设计的是高三复习课，但对教材的深层挖掘是“根本教学”中“根”的土壤，她决定了根的深度和广度，最终能不能真正实现枝繁叶茂，很大程度上是要看它与教材联系的紧密程度.与教材结合的好，“根深蒂固”，与教材脱节，则终会枯枝败叶.针对本节课，课堂设定的“回归课本”环节：利用了课本的习题（必修4，P120：B组2）已知向量a，b为非零向量，求证：a⊥b⇔|a+b|=|ab|.这本是一个简单的问题，然后让学生在处理本题的基础上寻找a·b与a+b，a-b三者之间的联系，这三者也是向量恒等式的三元素，通过探究发现本节课的教学之“根”——向量恒等式.引入十分自然，从课本出发，根的土壤十分肥沃，学生信手拈来，浑然天成.

当然，在这个教学根的深度和广度上，还有待改进：比如向量恒等实数模式a·b）2+（a-b）2=2（a2+b2），另外，要让学生欣赏这个恒等式的特点：数量积都变成了模！最后，在解释向量恒等式的几何意义方面，课堂处理显得不够系统全面，应该从平行四边形和三角形两个维度来分析：①平行四边形：向量的数量积可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一；②平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和；③三角形：中线的平方和对边一半平方差.

3.课堂教学程序

（1）思路设计.

在“根本教学”指导下，教学思路应该由点连线，由线及面，逐步加深拓展，推而广之.从而映射由根成林的程序，即根深蒂固，根繁叶茂，节外生枝，嫁接成林.其中每一步都要结合学生的实际，选择合适的内容，注意衔接的自然，详略得当，难度适中，使教学过程层层递进，步步为营，最后自然水到渠成.针对本节课，笔者认为，王老师对选题已经作了精心的设计，由易到难，其中既有高考题，也有最新的模拟题，既有平面的问题，又有空间的问题（只可惜时间关系，最后没来得及讲），题目虽然不多，但个个都是精挑细选的好题.有待改进的是各题的连接比较生硬，不够自然润滑.

事实上，可以再将所选的题目进行分类归纳，理出它们之间的内在区别和联系，如此就能达到衔接的自然了.例如可以这样：

例1 （基本式）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则A→→B·A→→C=_______.

例2（综合式）（改编1）已知a·b=0，向量c满足（ca）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，则a·c的最大值为_______.

例3（变型式）（改编2）设△ABC，P0是边AB上一定

A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=AC D.AC=BC

例4（空间式）（改编3）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，P→→M·P→→N的最大值为________.

（2）教学结构.

一般地，课堂结构，是指一节课的教学过程各部分的确立，以及它们之间的联系、顺序和时间分配.课堂结构也称为教学环节或步骤.课堂结构的不同，也会产生不同的课堂效果.可见课堂结构设计是十分重要的.通常，一节好课的结构是：结构严谨、环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中，效率高.而“根本教学”指导下的教学结构首先应该特别重视根的深度，也即基础有没有打扎实，打得牢不牢；其次，应该把重心放在“根”的应用层面，作为解决问题的工具，应该尽量将它的应用能力发挥出来.

针对本节课，从教学环节的时间分配来看：1分钟引导语，10分钟的“向量恒等式”，15分钟的例1，10分钟的例2，7分钟的例3，以及3分钟的小结.从教学环节时间分配来看，有“前松后紧”的现象，但是讲与练的时间搭配比较合理，笔者建议：由于例1难度不大，可适当减少例1的讲解时间，而增加学生对例3的思考时间；从教师活动与学生活动分配来看：既有教师的讲解和提炼，也有学生的思考与练习，分配比较合理；从学生的个人活动时间与学生集体活动时间的分配来看：学生个人活动、小组活动和全班活动时间分配比较合理，课前利用学案的优势让学生通过自学、独立思考和独立完成部分作业，课堂主要进行集体思考，集体问答；从优差生活动时间的分配来看：总体比较合理，主要是优、中、后进生活动时间分配恰当，没有出现优等生占用时间过多，后进生占用时间太少的现象；从非教学时间的比例来看：本节课教师在课堂上有没有脱离教学内容，做别的事情，以及浪费宝贵的课堂教学时间的现象，语言简洁，符合教学内容.

4.课堂教学方法

在“根本教学”理念之下，所谓教学方法不是教师孤立的单一活动方式，它包括教师“教学活动方式”，还包括学生在教师指导下“学”的方式，是“教”的方法与“学”的方法的统一.它要求灵活运用各种方法，尤其是引导法，以及体验学习教学法的应用.针对本节课，笔者认为其采用了：

（1）教学方法的合理化.本节课，教师充分积极引导学生的思维，利用学生的最近发展区，鼓励学生产生思维风暴，探索发现新的知识，感受“根”的发展和能效.

（2）教学方法的多样化.没有坚持单一的教学方法，而是各种方法相互交融，使学生在学习“根本问题”之后，能够尽快地利用这个“根本问题”解决新的问题，从而产生积极的学习体验.

（3）教学方法的现代化.能很好地利用多媒体PPT课件进行课堂教学，同时又不拘泥于做好的课件，教师能够在恰当的时机对恰当的内容在黑板上板书演示，能够做到传统方法与现代教学手段相结合，实属不易.

三、根本教学的重要性

“根本教学”的课堂教学效果的评价应该是多元立体的，首先，从课堂教学目标的完成情况来看，学生是否对这个“根本”知识有了良好的感受，会不会应用到其他领域中去，有没有学习的欣快感，这是一个维度，另一个维度是学生的发展情况如何，他们在今后如果遇到类似的问题，还会不会用今天的“根”去解决，即使想到去用，还会不会像今天课堂上那样熟练.这两个维度的评价对课堂教学的有效性来说非常关键，很大程度上关系到后来能不能真正绿树成荫.

“根本教学”强调“根”的作用，因此，在学法指导方面应该帮助学生认识问题的根本，掌握根本问题的学习规律，并饶有兴趣地应用到其他问题中去，同时对此类问题养成良好的学习习惯，逐步提高学习能力，有效地提高学习效率.所以，事实上不必在问题的讲解中穿插其他很多的方法，只要集中训练根本问题，并将问题辐射到数学的各个领域，比如二维、三维，比如代数、几何，比如三角形、数列等，从而发挥根系的作用，真正达到嫁接成林的局面.

根本教学让教学真正有了“灵魂”，是一种符合当下高效教学、带有明确性指导方向的教学方式，至少从数学热点问题的解决上来看，根本教学是一种有灵魂的教学，它让复习教学不再出现毫无目的、盲目的训练，从这样的困境中走出来，做一些与时俱进的数学问题，既提高了数学教学的效率，也让教师自身的专业化成长走出了一条较为创新的道路.

1.宋卫东.从生“动”到生动，诠释思维品质的提升［J］.中学数学月刊，2013（5）.

2.方厚石.向量教学诠释思维品质［J］.数学通讯，2014（1）.F