☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

数学解题教学设计的新视角*
——基于思路表达的逻辑捷径到思路探究的心理生成研究

☉淮北师范大学数学科学学院 张昆

一个好的数学教师在课堂上所传授的教学内容，不能只满足于告诉学生一些教师自己知道的数学知识（特别是它的逻辑过程），而应该努力向学生展示一些教师自己知道得还不彻底的东西（在思考过程中，从问题的信息出发，萌发了一些比较模糊的数学观念与思想，但是还没有得到确定的结果），甚至就某一问题向学生如实地说明连教师自己到目前还不知道的事情，或者他感觉到但是还没有明确认识清楚的东西.这样才能更有利于从思想上、心理上打动学生，给学生以置身于现场的感觉，使之易于领悟，帮助学生不仅得到作为结果的知识，而且体悟产生形成某种知识结果的过程.

在听高三数学教师解题教学课时，我们发现了这样一种具有共性的现象：在讲解解题思路时，许多教师喜欢运用“容易得到”或“不难得到”或“同学们自己可以计算出（探究出）某种结论”等用语，有时候也直接将解决问题的思路提供给学生而不带领学生探求获得这一结论来源的过程.如此，学生得到的只是某种问题解决的逻辑通路，致使关于某个问题的解决过程没有从学生的心理出发展开思维，这将损伤数学解题教学的教育价值.

数学解题教学的真正价值在于将教师已经掌握的数学问题的逻辑通路转化为学生从心理上发生，只有关注学生发生数学知识的心理过程，并仔细斟酌做好相应得体的数学教学设计，教师才能有意识地将自己经过深思熟虑获得问题解决的有效方法，通过创造性地发挥，变成促使学生学习形成数学解题创造性的手段.否则，通过教师的教学，学生解决问题的能力得不到相应的提高，他们只有通过记忆已经解决了的数学问题的解决思路（其实形成了某种类型）的方式来应对新情境中的问题，而这种记忆的方式肯定是效果不好的.我们看一个高三数学解题的真实课堂教学中发生的例子.

（Ⅱ）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点.如果函数f（x）有两个二阶周期点x1、x2，试确定a的取值范围.

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的x1、x2和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1）））、B（x2，f（f（x2）））、C（x3，0）.记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.

对于问题（Ⅱ），授课教师的教学过程如下所示.

解：针对参数a进行讨论.

注：这位教师在提供如此思路后指出，解决了（ⅰ）后，可以省略（ⅱ）的计算，因为在这种情况下，函数f（x）不可能具有两个二阶周期点.

这种教学过程带给学生和听课的笔者两点疑问：其一，为什么在讨论参数a时采用了取作为分段标准进行讨论？其二，当时，又为什么对x分成了如此的四段进行讨论？在整个的教学过程中，教师对这两点都没有作出必要的说明，使听课的学生与笔者感觉一头雾水.这其实只是教师将自己的研究成果的一种“逻辑捷径”奉献给了学生，而不是在教师的引导下，通过学生自己的思考得到的逻辑过程，所以如此进行解题教学是没有多少价值的，因为不能发展学生发现数学问题思路的能力，学生只能通过记忆这种具体的讨论问题的方法来面对新情境，从而对学生解决将要面临的新情境时出现的新问题帮助甚小，即学生只能记住问题的逻辑过程，而对发展思维能力却帮助甚微.

修改后的教学设计：由问题中给定的函数二阶周期点的定义，我们必须要验证f（f（x））=x与f（x）≠x，于是需要得到函数f（f（x））的解析式，因此，就要首先决定尽可能地化简函数解析式学生的想法当然是去掉其中的绝对值符号.思路可以由此展开.

由①知假设f（f（x））=4a2x=x，由于，于是只有x= 0，即f（f（0））=0，但是f（0）=0，故由函数f（x）的二阶周期点的定义，知x=0不是函数f（x）的二阶周期点.

由②知假设f（f（x））=2a-4a2x=x，解得.由于符合函数f（x）的二阶周期点的定义，它是函数f（x）的二阶周期点.

由③知假设f（f（x））=2a（1-2a）+4a2x=x，解得但是不符合函数f（x）的二阶周期点的定义，它不是函数f（x）的二阶周期点.

由④知假设f（f（x））=4a2（1-x）=x，解得.由于的条件，且符合函数f（x）的二阶周期点的定义，它是函数f（x）的二阶周期点.

由⑤知假设f（f（x））=4a2x=x，又可以分两种情况讨论：当时，f（f（x））=4a2x=x，但是f（x）=x，则中的所有点都不是函数f（x）的二阶周期点；当时，f（f（x））=4a2x=x的解为x=0，但是f（0）=0，则x=0不是函数f（x）的二阶周期点.

由⑥知假设f（f（x））=4a2（1-x）=x，解得.由于矛盾，故不是函数f（x）的二阶周期点.

笔者关于问题（Ⅱ）修改后的解答过程讲到此，有人举手提问（注：这里的“有人问”与下文的“有人又问”，都是笔者在做讲座时与听讲的高三数学老师之间交流的真实提问与回答的实录.）：这不就是将a在其取值的范围内以为标准分成了两个部分吗？如此解答这一问题不是要节省许多计算吗？我们承认这种理解是非常有见地的.然而，我们认为问题是：不经过（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）的这些探究活动，我们怎么会知道a的取值的分段标准就是呢？这位教师关于这一点在教学时没有说清楚，致使在学生的眼光中，认为教师具有先天的慧眼，在解题的探究之前，就有能洞穿问题实质的本领，逻辑环节上的任何沟坎都很容易跨过去，实际上，教师也是常人，只是他在讲课时将那种艰难的探究过程用严丝合缝、环环紧扣的逻辑捷径隐藏了起来.这样的解题教学给学生带来了很大的负面影响，他们由此出发，很可能认为数学是先天预成的，不是经由意识机能探究得到的，而是通过对他人的精心思考的结论记忆而得到的.

事实上，数学解题教学设计的成功与否，很大程度上取决于教师向学生展示自己解题时的那种深陷重围的痛楚，举步维艰的处境，欲行又止的难局的探究过程.这些对学生的潜移默化的影响远远地大于教师经由很长时间琢磨题目所得到的逻辑形式的捷径，通过这种捷径，使解题时的生动的探究过程中的数学观念的生成与再生，数学方法从暗昧到明确的构造，洞穿问题结构时的灵机一动的直觉的来源等，都隐而不显了.如此教学设计给学生的感觉正如波利亚所批评指出的“从帽子里变出了兔子”，学生便认为教师的这种“变戏法”他们是学不会的，这对学生的打击是无以复加的.由于这种教学方式的长期熏陶，学生对于数学解题的兴趣将会丧失殆尽，他们极有可能放弃数学的思考与学习.

当我们鼓励学生完成了本例中修改后的解题教学的探究活动过程后，可以针对这种解答的心理过程，引导学生扼要地表达、形成逻辑过程——就是这位教师原始教学设计的过程——事实上是对经由心理复杂的、系统的活动过程所得到的结果的一种极其简洁的逻辑表达.逻辑过程就是将心理发现时的种种迂回曲折的过程搁置一边，它褪尽铅华，洗去尘滓，纯而又纯，简练到一尘不染.

这位教师在课堂上所呈现的解答过程就是这种一尘不染的逻辑过程的捷径，但如此只讲问题思路的逻辑过程，就会极大地损伤数学解题教学的育人价值.数学解题教学设计更要关注学生产生这种逻辑过程的心理活动过程，而心理过程要求学生生成问题解答的思路的活动过程自然流畅，平淡无奇，水到渠成，以至无斧凿痕迹.作为数学解题的教学过程，心理过程与逻辑过程，这两者的合理整合是教学设计的理想状态，但是作为教学活动，我们必须依据逻辑线索，偏向于心理过程.

有人又问：如此教学课堂时间的利用率极低，高三复习解题教学的时间是格外宝贵的.我们认为，关于数学解题课堂教学效率问题，不应该是教师在一节课上所讲授的题量与时间之比，而是教师在课堂上所要传授的知识，及这些知识可能促进学生生成的数学观念，萌发数学思想，进而转化为数学方法，通过教师的教学能够达到何种程度，因为这些才能提高学生的数学能力，使其产生深度数学经验，由此可以加大学生驾驭新情境下数学问题的可能性的程度.这就是我们通常所说的：授人以鱼，不如授人以渔.当学生形成了思想，生成了观念，构造了方法时，就可以自己解决新的问题，知识的增多与技能的提高已经不是多大问题了.

长期的数学教学经验使我们意识到：虽然“教什么”与“怎样教”更直接通向教学效率，但对于形成数学解题的心路历程而言，高效率往往会流失解题教学价值的许多意蕴，解题的逻辑环节的出现不是客观的物品，不能直接从教师（或者教科书）那里传递给知识的学习者，它更好的类比好像是牛的肠道对食物的消化吸收过程.首先，有一个反刍的环节，然后，食物必须经由很长的弯弯曲曲的肠道，才能一点一滴地对其中内含的营养要素进行分类吸收，而将有害的因素排出，吸收了的便成为牛的身体的一部分，为其所用.数学观念的生成与再生也是一样，必须对作用于意识机能的外在信息的点滴体会，集思广益，才能萌生相应的数学观念，组成主体认知结构的动力系统的一个部分，这应该是一种需要时间进行体悟的过程，这一过程是不能采用解题的数量与时间的比率来阐明数学问题解决的教学效率的.

当然，教师在教学过程中，他的处理是灵活生动而非僵化死板的.例如，对于本例中的修改后的设计，也未必需要如此事无巨细地写出整个过程，我们清楚地表达了的环节1中（ⅰ）的探究活动的成果，其他可以对学生提供问题的答案，探究与计算过程让学生自己去在课下完成，有了（ⅰ）的示范，其他三者学生也是可以自觉地得到结果的，不需要教师在宝贵的课堂教学的时间中，将探究问题思路的全息性思维活动过程如此事无巨细地展示在课堂教学中.这样做的目的主要是体现出我们分类标准的由来是经由对（ⅰ）的探索过程得到的，使解决问题思路的生成出自于学生心理的思考，而不是教师的“奉献”，如此可以启发学生生成探究问题发现思路的深度经验.

对于问题（Ⅲ）（这里只是简略解答的过程），由问题（Ⅱ）的解答所得到的结论，知而x3为函数f（f（x））的最大值点，知，因此解答此题需分两种情形讨论.

对于问题（Ⅱ），我们不厌其烦地写完这道题目的解题发现过程之后，形成笔者的观点——数学解题教学设计应力求将解题思路逻辑过程的发生转化为引导学生发现解题思路的心理活动过程，在这一过程中，也只有在这一过程中，才能促使学生生成与再生数学观念，萌发数学解题思想，构建数学解题方法，形成深度数学解题经验.笔者再次阅读张奠宙、宋乃庆先生的《数学教育概论》，严士键在给该书所做的“序三”中转述华罗庚先生对读数学书的看法，对我们的解题教学具有很好的指导作用，我们实录其一段文字：华先生提倡，在读数学书时先要把书中的那些“显然”“可以证明”“经过计算可以得到”等略掉之处都补出来，将书中的细节都弄懂.这是将书读“厚”.然后是在读完一章或一本书后，应该总结反思.弄清这本书的问题是怎样提出的；已经解决到什么程度；在解决问题的过程中，提出了哪些概念与方法，这样也就将书读“薄”了.他还指出，每读一本新书，其中对自己是全新的内容通常并不多，关键是要把那些新内容“加”到自己所有的知识中去，形成自己的体系.

解题时数学解题思路的心理发现过程就是将逻辑过程中的每一个环节及环节与环节之间的转、承、启、合的中介都通过思考将其构造出来，这就类似于华先生的将书读“厚”，学生从其思考所得到的一系列材料中形成关于某些要素的固定的看法，这就生成了数学观念，而数学方法又是在这些数学观念指导下进一步的反复运用中产生的，如此便形成了学生解决数学问题的深度经验.在教师的带领下，指导学生通过反思的途径，对经由心理活动加“厚”的材料舍弃多余、精简环节，找到笔直的捷径，整理好这些就形成了解答问题的逻辑过程，这就形成了解题表达的“薄”的过程.

1.李晶，李德安.基于学生的视角谈解题教学的有效性——以2012年、2013年云南省一模数学第21题为例说明［J］.中学数学（上），2013（6）.

2.张昆.渗透数学观念的教学设计方法研究——以一元一次方程教学为例［D］.重庆：西南大学，2011.

3.张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京：高等教育出版社（第二版），2009.A

*本文为2013年12月26日在安徽省宿州市高三数学教学复习研讨会上的报告，这里作了少许删减.本文系淮北师范大学校级质量工程课题“提高师范生数学教学设计水平研究”（jy13228）阶段性研究成果.