张丽娜， 刘桂庆， 林冠男

（1.合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009；2.南昌工学院 基础教学部，江西 南昌 330108）

利润－CVaR准则下供应链中的联合广告投入与订货策略研究

张丽娜1， 刘桂庆1， 林冠男2

（1.合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009；2.南昌工学院 基础教学部，江西 南昌 330108）

文章研究了二级供应链中风险厌恶型零售商面对随机市场需求时的最优广告投入及订货策略。在以期望利润和CVaR的加权平均为目标函数下，分析了零售商的订货策略及广告投入，在此基础上研究了上游供应商的广告投入费用，并阐述了解决该问题的方法，分析了当仅存在零售商广告或供应商广告的2种情形下，风险因子对广告投入及订货量的影响。研究结果可以为风险厌恶的零售商和供应商制定联合广告投入策略和订货策略提供参考。

利润－CVaR准则；CVaR模型；联合广告投入；订货策略

0 引 言

近年来，随着科技进步以及市场的迅猛发展，越来越多的新产品涌入市场，厂家往往通过广告宣传来让顾客充分了解其经营的商品品牌、售后服务、购物环境等，从而提高潜在顾客购买其经销商品的欲望，进而达到增加需求的目的［1］。文献［1］建立了广告投入策略与订货策略联合确定的随机模型，给出了最佳的订货量及广告投入量；文献［2］研究了在随机需求与销售价格和广告费用有关的前提下，如何寻求最优广告费用、销售价格及订货量；文献［3－5］研究了两级供应链中关于当地广告、品牌广告投入及最优的订货量联合决策问题。

然而，以上的研究均假设供应链参与人均为风险中性者，决策目标是使得期望利润最大化。这对利润变化不敏感的决策者来说是比较合适的。但当决策者是风险厌恶时，期望值准则便不再合适。近年来，一些研究者采用了金融风险中的条件风险值CVaR（conditional value at risk）模型来探讨供应链中产品采购与供应风险决策问题，文献［6－7］研究了带有缺货惩罚模型中的CVaR研究及在紧急订货下的价格决策模型，文献［8］研究了带有折扣策略的CVaR模型。以上的模型均没有研究CVaR准则下广告的投入对最优订货量的影响。文献［9］研究了在CVaR准则下风险厌恶的零售商的最优广告投入和订货策略，并分析了风险厌恶因子对广告投入及订货量的影响，但只是探讨了零售商的广告投入，忽略了在此准则下零售商的订货量对供应商品牌广告投入的影响，另一方面在求解过程中只关注利润低于某个给定水平的情况，忽略了利润高于该水平的情况。因此许多学者提出以期望利润与CVaR的加权平均作为准则，一方面反映了决策者追求高利润的愿望，另一方面又反应了其对潜在风险的控制［10］。文献［10－11］以期望利润和 CVaR 的加权平均作为准则，根据这个准则零售商确定最优的订货量，这样的研究既考虑了风险又兼顾了期望利润。

本文可以看成是对文献［9］的补充，首先利用文献［3］中的期望需求函数，研究风险厌恶的零售商对联合广告投入及订货量的影响，并考虑期望利润与CVaR加权平均作为准则下的零售商最优广告投入及订货量，同时，供应商根据零售商的订货量及广告投入来确定自己最佳的广告投入。

1 模型描述

1.1 记号与假定

设供应商生产成本为c；零售商的批发价格为w；零售商的零售价格为p；零售商处理剩余产品的残值为v；不考虑供应商和零售商的库存成本、缺货成本。供应商投入的广告称为品牌广告，零售商投入的广告称为地方促销广告。一般广告投入的费用越多需求越高，但由于潜在顾客的有限性，需求会随着广告的投入逐渐趋于某个上界，因此这里假定产品的期望需求是品牌广告费用m和地方促销广告费用r的增加凹函数，设其为D（m，r）＝D0－βm－ur－s。其中，D0为产品的需求上界；β为正常数；u、s分别为品牌广告和地方促销广告对需求的影响度，u∈（0，＋∞），s∈（0，＋∞），u值越大，品牌广告对销售额的影响越大，s值越大，地方性促销广告对销售额的影响越大。期望需求满足的条件可参考文献［3］。

为反应销售期内需求的不确定性，该产品在整个销售期的实际需求量x被假定是D（m，r）与均值为1的正随机变量ε的乘积，即X＝D（m，r，ε）＝D（m，r）ε，随机变量ε的密度函数和累计分布函数分别为f（t）和F（t）；在给定的广告费用为m、r时，随机需求X的概率密度函数和分布函数分别为g（m，r，x）和G（m，r，x）。因此，显然有如下关系成立：

1.2 风险中性下的联合广告投入与订货策略

设零售商的订货量为Q，由前面的假设可得供应商的利润函数πsQ，m，r，ε）和零售商的利润函数πr（Q，m，r，ε）分别为：

定理1 在零售商风险中立条件下，品牌广告投入、地方促销广告投入及订货量分别为：

证明 具体证明过程可参见文献［3］。

1.3 η－CVaR下的联合广告投入与订货策略

CVaR是指在给定的条件和置信水平下，利润低于某个给定VaR的利润水平的平均值，即

其中，η∈（0，1］，被称为风险厌恶因子，η越小表示零售商风险厌恶程度越大，当η＝1时，零售商为风险中性。

于是，在η－CVaR风险度量准则下，风险厌恶的零售商需要在销售期开始时确定广告投入和订货量的最优取值r＊和Q＊，使得CVaRη［π（Q，r）］最大化，即

定理2 风险厌恶的零售商在η－CVaR风险度量准则下，品牌广告投入、当地促销广告投入及最优订货量分别为：从定理2中的结论可以看到，当η→1即零售商为风险中性时，结论与定理1中的结论相同。

且由（5）式可知r＊（m）是关于m的减函数，也就是说供应商品牌广告投入增加，零售商的地方促销广告投入将减少，供应商对品牌广告投入的增加将消弱零售商对地方促销广告投入的积极性。

1.4 利润－CVaR下的联合广告投入和订货策略

由上述CVaR的定义可看到，CVaR只关注利润低于某个给定水平的利润平均值，而忽略了利润高于该水平的情况。如果η过小，CVaR描述了决策者风险厌恶，但忽略了大部分的分配利润；如果η过大，CVaR虽然包含了大部分的分配利润，但忽略了决策者的风险厌恶态度［7，10］。为了克服这一缺陷，以期望利润与CVaR的加权平均作为目标函数，这样的函数能反映零售商追求高利润的愿望，也能反映对其潜在风险的控制。目标函数描述如下：

其中，λ表示决策者追求期望利润的程度，λ越大说明决策者越关注期望利润。当λ＝0时，目标函数表示决策者只关注条件风险值CVaR下的利润；当0＜λ＜1时，决策者关注期望利润和CVaR下的利润；当λ＝1时，决策者关注期望利润，而忽略本身存在的风险。

对于风险厌恶的零售商采取利润-CVaR准则，也就是最大化，即

定理3 风险厌恶的零售商在“利润－CVaR”准则下，品牌广告投入、当地促销广告投入及最优订货量分别为：

推论1 （1）当λ＝1时，最优订货量Q、零售商当地促销广告投入r、供应商品牌广告投入m均与在风险中性时的结果一致，也就是说模型退化到风险中性时的情形。

（2）当λ＝0时，最优订货量Q、零售商当地促销广告投入r、供应商品牌广告投入m均与在η－CVaR条件下的结果一致，也就是说模型完全成为最优化CVaR问题。

2 算例分析

表1 不同η值对应的λ、m、r、Q结果

从表1可以看出，对于固定的η，λ越大，促销广告投入r及订货量Q就越大，同时也促使品牌广告投入m增大。当λ＝1时，m、r、Q的结果是一样的，也就是说零售商在面对风险时更偏向使期望利润最大，或者零售商更偏好于风险中性。从表1中还可以看到，当λ＝0.8时，品牌广告m随着η增大先减小后增大。

3 结束语

本文考虑了风险厌恶的零售商在面对随机市场需求时的最优订货量及广告投入，以及由此对上游供应商广告投入的影响，研究以零售商的期望利润和CVaR的加权平均为目标函数，实验结果表明，零售商对期望利润的权重越大，其最优的订货量也就越多，对应的广告投入r、m也就越多。本文提出的关于广告投入的利润－CVaR还可以在很多方面进行扩展，如考虑零售商有缺货惩罚时的CVaR情形、供应商也是风险厌恶的情形等。

［1］周永务，杨善林.Newsboy型商品最优广告费用与订货策略的联合确定［J］.系统工程理论与实践，2002，22（11）：59－63.

［2］汪峻萍，周永务，杨剑波.需求依赖广告费用和销售价格的Newsboy型产品库存模型［J］.控制与决策，2010，25（1）：89－98.

［3］曹细玉，宁宣熙，覃艳华.易逝品供应链中的联合广告投入、订货策略与协调问题研究［J］.系统工程理论与实践，2006，26（3）：102－107.

［4］Yue Jinfeng，Austin J，Huang Zhimin，et al.Pricing and advertisement in a manufacturer－retailer supply chain［J］.European Journal of Operational Research，2013，231：492－502.

［5］Chen T H.Coordinating the ordering and advertising policies for a single－period commodity in a two－level supply chain［J］.Computers ＆Industrial Engineering，2011，61：1268－1274.

［6］许明辉，于 刚，张汉勤.带有缺货惩罚的报童模型中的CVaR研究［J］.系统工程理论与实践，2006，26（10）：1－8.

［7］Xu Minghui.A price－setting newsvendor model under CVaR decision criterion with emergency procurement［J］.Journal of Systems Science and Systems Engineering，2010，19（1）：85－104.

［8］Caliskan－Demirag Q，Chen Youhua，Li Jianbin.Customer and retailer rebates under risk aversion［J］.Int J Production Economics，2011，133：736－750.

［9］李绩才，周永务，钟远光.基于CVaR准则的Newsboy型商品最优广告费用与订货策略［J］.系统工程理论与实践，2012，32（4）：776－783.

［10］柳 键，罗春林.利润－CVaR准则下的二级供应链定价与订货策略研究［J］.控制与决策，2010，25（1）：130－136.

［11］Xu Minghui，Li Jianbin.Optimal decisions when balancing expected profit and conditional value－at－risk in newsvendor models［J］.Journal of Systems Science ＆ Complexity，2010，23（6）：1054－1070.

Study of joint advertising investment and order policy in a supply chain under profit－CVaR criterion

ZHANG Li－na1， LIU Gui－qing1， LIN Guan－nan2
（1.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.Department of Basic Courses，Nanchang Institute of Science and Technology，Nanchang 330108，China）

This paper considers the optimal advertising investment and order policy under a two－level supply chain model，in which the retailer is risk－averse and faces a random demand depending on advertising expenditure.Considering the weighted average of the expected profit and conditional value at risk（CVaR）as target function，the advertising investment and order policy of the retailer are analyzed as well as the advertising investment of the supplier.An approach to solve this problem is developed，and the influence of risk factor on the advertising investment and order quantity when there is only the retailer advertisement or supplier advertisement is studied.The results obtained are helpful for both retailers and suppliers who are risk－averse to make joint advertising investment policy and order policy.

profit－conditional value at risk（CVaR）criterion；CVaR model；joint advertising investment；order policy

F224.9

A

1003－5060（2015）02－0258－06

10.3969／j.issn.1003－5060.2015.02.025

2014－02－27；

2014－05－29

国家自然科学基金资助项目（71101002；71101040）；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20120111120013）和合肥工业大学科学研究发展基金资助项目（2011HGBZ1301；213HGXJ0234）

张丽娜（1990－），女，安徽太和人，合肥工业大学硕士生；

刘桂庆（1978－），女，安徽和县人，博士，合肥工业大学副教授，硕士生导师.

（责任编辑 张 镅）