李小珍， 刘桢杰， 辛莉峰， 刘德军

(西南交通大学土木工程学院，四川 成都610031)

斜拉索作为斜拉桥的主要受力构件，具有刚度小、阻尼较低的特点. 由于斜拉桥主梁质量远大于斜拉索，在列车或风荷载作用下，主梁、桥塔振动作为激励将导致斜拉索大幅振动，这种振动称为索梁相关(耦合)振动［1-2］. 随着斜拉桥技术的进步，作用在斜拉桥上的车辆荷载越来越大，而列车荷载作为一个长期的动力荷载，若由于桥梁本身特性的原因，使其在车桥动力作用下发生明显的索梁相关振动，从而导致拉索长期大幅振动，将严重影响拉索的耐用性，并对桥梁的安全性造成威胁.

车辆荷载作用下斜拉桥索梁振动的相关性已越来越受到关注，取得了一些研究成果［3-6］. 如Yang Fuheng 等考虑斜拉索振动过程中大位移及索力变化的非线性特性，采用离散索单元建立斜拉索模型，研究了移动荷载作用下主跨150 m 的斜拉桥拉索的非线性振动［3］;张鹤等采用有限元法，通过车桥耦合振动分析，获得了主梁、桥塔的振动响应，并采用子结构方法提取拉索端点的振动时程研究拉索振动，讨论了梁、塔与拉索振动的相关性［4］.研究表明，对于大跨斜拉桥，在斜拉索主要自振频率范围内，梁、塔端支点和拉索中点振动频谱没有明显的相关性，在车辆荷载作用下索桥耦合振动的可能性不大［4］.然而，拉索振动响应均包含端部位移响应成分，对斜拉索非线性振动的上述分析并未从斜拉索局部振动特性出发，探讨列车通过时斜拉索局部振动与桥梁整体振动之间的相关性.

本文基于列车-线路-桥梁耦合振动理论与动力学模型，以某主跨115 m+95 m 的铁路矮塔斜拉桥为工程背景，考虑斜拉索与桥梁整体结构之间的相互作用，通过数值积分得到梁体、桥塔振动响应以及斜拉索局部振动响应，探讨了不同列车速度下拉索与桥梁整体振动之间的相关性.

1 列车-线路-桥梁耦合振动模型

按照一定的轮轨、桥轨作用关系，将车辆、轨道和桥梁三大子系统组合而成的耦合大系统称为列车-线路-桥梁耦合振动系统，见图1.

图1 列车-轨道-桥梁耦合振动模型Fig.1 Dynamic model of train-track-bridge coupling system

1.1 车辆动力学模型

车辆为二系悬挂四轴车辆(35 个自由度的质量-弹簧-阻尼系统)，包括1 个车体、2 个转向架和4 个轮对共7 个刚体，每个刚体均考虑横移、沉浮、侧滚、点头和摇头5 个自由度，刚体与刚体之间通过弹簧-阻尼元件连接［7-8］. 根据D'Alembert 原理，可推导出车辆各自由度的动力平衡方程，表达式详见文献［9］.车辆子系统的运动方程为

式中:Mv、Cv和Kv分别为车辆子系统的质量、阻尼和刚度矩阵;¨uv、˙uv和uv分别为车辆各自由度的加速度、速度和位移列向量;Pv为轨道子系统作用在车辆子系统上的荷载.

1.2 轨道动力学模型

采用文献［10］介绍的板式轨道模型模拟无碴轨道结构.桥上板式轨道中，轨道振动主要体现在钢轨和轨道板的振动上，混凝土底座的作用以参振质量的形式在桥梁动力学模型中加以考虑.考虑钢轨振动的边界条件影响后，可将钢轨的无限长Euler 梁模型简化为有限长简支梁模型. 轨道板垂向振动按弹性地基上的等厚度矩形薄板考虑，而横向可视为刚体运动.轨道子系统的运动方程为

式中:Mt、Ct和Kt分别为轨道子系统的质量、阻尼和刚度矩阵;¨ut、˙ut和ut分别为轨道各自由度的加速度、速度和位移列向量;Pt为车辆和桥梁子系统作用在轨道子系统上的荷载.

1.3 桥梁动力学模型

铁路矮塔斜拉桥采用空间梁-杆系有限元模型模拟，其中桥塔、主梁采用空间梁单元模拟，斜拉索用空间杆单元模拟.为探讨矮塔斜拉桥索梁振动的相关性，分析列车-线路-桥梁耦合振动时，需考虑斜拉索振动的非线性.斜拉索单元的模拟采用与文献［3］相同的方法，将单根斜拉索离散为多段杆单元，相邻杆单元铰接. 斜拉索因自重垂曲引起的非线性效应(采用Ernst 公式)通过折减其弹性模量来考虑;恒载初始内力对结构刚度的影响通过在杆单元刚度矩阵的基础上叠加几何刚度矩阵实现［7］.

桥梁边界条件的模拟方法:墩梁之间的联结采用主从关系模拟，承台底采用点弹簧支撑，以模拟承台底总的基桩约束.桥面二期恒载按均布质量分配于主梁单元.桥梁子系统的运动方程为

式中:Mb、Cb和Kb分别为桥梁子系统的质量、阻尼和刚度矩阵;¨ub、˙ub和ub分别为桥梁结构各自由度的加速度、速度和位移列向量;Pb为车辆作用在桥梁各自由度上的荷载.

1.4 轮轨、桥轨相互作用关系

若轮轨、桥轨相互作用关系确定，即可由式(1)～(3)用数值积分方法求得各子系统的动力响应.轮轨关系是车辆与轨道子系统联系的纽带，包括轮轨接触几何关系和轮轨间力的关系. 计算中，假设轮轨刚性接触，并允许发生脱离，其法相接触力采用Hertz 非线性弹性接触理论求解，切向作用力采用Kalker 线性蠕滑理论求解，并通过Johnson-Vermeulen 理论进行非线性修正［8］.桥轨关系是轨道与桥梁子系统联系的纽带，包括桥枕间的几何相容和静力平衡条件.轨道板位移通过桥梁节点位移插值得到，并由轨道板位移求出作用在其上的横向力和垂向力.

2 计算条件

2.1 结构概况

以某主跨为115 m +95 m 的客运专线铁路矮塔斜拉桥为工程背景，总体布置见图2. 主桥结构为独塔双索面预应力混凝土矮塔斜拉桥.桥塔为墩梁塔固结形式，边跨引桥为简支梁形式. 索塔在主梁顶面以上结构高27.8 m，实心截面，横桥向宽2.0 m;斜拉索横向为双索面，立面半扇形布置，索塔两侧各9 对斜拉索，塔上索距1.1 m，梁上索距8.0 m，斜拉索在塔顶通过鞍座，两侧对称锚于梁体;主梁为变高度预应力混凝土连续梁，截面为直腹板单箱双室结构，中支点梁高7.6 m，跨中及端支点梁高5.0 m;主墩墩身为板式墩，支座为球形支座;塔墩基础为桩径2.0 m 的钻孔灌注桩基础，边墩采用桩径1.5 m 的钻孔灌注桩基础.

图2 主桥总体布置(单位:cm)Fig.2 General layout of main bridge (unit:cm)

2.2 计算参数

为研究不同列车速度下索梁振动的相关性，列车模型采用CRH3 动车组，车辆编组为重联(动车+拖车+动车+动车+动车+动车+拖车+动车)，共16 节，速度分别为225、250、275、300、325 和350 km/h(设计时速范围).

桥梁阻尼采用瑞利阻尼模式，结构阻尼比取2%，参考频率分别考虑第1 阶和第20 阶［11］.

计算时，列车、轨道和桥梁动力响应均不滤波，积分时间步长为0.000 1 s.

3 算 例

3.1 自振特性

根据文献［12-13］，通过对比全桥振动与拉索振动的计算结果，可初步判断拉索发生索梁相关振动的可能性.针对全桥整体和斜拉索分别进行自振特性分析，为方便起见，对斜拉索进行编号，见图3(斜拉索从左至右编号，即桥塔两侧最长的分别为1 号索和18 号索). 表1 和表2 分别给出了全桥(整体)自振频率和部分斜拉索的自振频率，图4为1 号斜拉索的典型模态.

表2 部分斜拉索的自振频率Tab.2 Vibration frequency of some cables

图3 斜拉索编号Fig.3 The serial number of cables

图4 1 号斜拉索的典型模态Fig.4 The typical modals of No.1 cable

3.2 斜拉索局部振动

斜拉索两端点分别连接在桥塔和主梁上，在列车荷载作用下，主梁和桥塔发生振动，从而激励斜拉索振动，而斜拉索局部振动直接引起拉索索力变化.故对斜拉索在列车荷载作用下的响应，应重点关注其局部振动.

图2 中，OXYZ 为总体坐标系，O0X0Y0Z0为斜拉索局部坐标系(X0方向与各拉索轴向平行).由式(3)，采用Newmark-β 法可求得桥梁系统的动力响应，即可得到拉索在整体坐标系下的位移响应.而要得到其局部振动响应，可将扣除端点位移后的斜拉索响应向Y0和Z0方向投影(程序中通过坐标转换矩阵得到拉索局部振动响应).

在列车荷载作用下，梁体、桥塔主要在XY 平面内振动，斜拉索也主要受到X0Y0面内的端点激励.经计算，拉索在Z0方向的局部振动位移幅值远小于Y0方向，故分析列车荷载作用下索梁振动的相关性时，主要分析OXY 面内的桥梁振动响应，并取斜拉索中间节点的响应作为拉索局部振动分析对象.

3.3 不同列车速度下桥梁的动力响应

考察CRH3 动车组以225 ～350 km/h 的速度通过桥梁时梁体、桥塔的动力响应规律. 图5 为CRH3 动车组以350 km/h 的速度通过桥梁时主梁第1 跨跨中位移响应时程及其位移响应频谱曲线，表3 给出了不同列车速度下梁体、桥塔位移响应幅值和位移频谱的分析结果.

图5 主梁第1 跨跨中位移时程和频谱Fig.5 Displacement time history and frequency spectrum of the first span

表3 不同列车速度下主梁、桥塔的动力响应Tab.3 Dynamic responses of main beam and pylon vs. train running speed

从 图5 和 表3 可 见，CRH3 动 车 组 以225 ～350 km/h 的速度运行时，主梁、桥塔振动包含的主要频率以低频为主. 随主要频率值增大，其对应的位移幅值减小，且主要频率值均小于全桥整体一阶自振频率(0.78 Hz)，表明主梁、桥塔振动包含的主要频率为列车经过桥梁时的等效激励频率;主梁、桥塔位移响应和响应幅值包含的主要频率及其对应的位移幅值均随列车速度提高而增大. 其中，位移响应对列车速度不如频率敏感，这主要是由于位移响应受振动频率对应的位移幅值控制.

从表3 可见，频率对应的位移幅值越大(频率值占振动频率的比重越大)，受列车速度影响越小.

图6 为CRH3 动车组以225 ～325 km/h 的速度经过桥梁时1 号斜拉索的局部振动位移时程和位移响应频谱曲线，表4 给出了不同列车速度下斜拉索的局部振动位移响应和位移频谱的分析结果.

从图6 和表4 可见，与主梁和桥塔相比，斜拉索局部振动频率分布更集中，且其振动位移响应和响应幅值包含的主要频率和频率幅值均对列车速度较敏感.

图6 1 号斜拉索局部振动位移时程和频谱Fig.6 Displacement time history and frequency spectrum of No.1 cable

比较表3 和表4 中振动主要频率与拉索自振频率可知，斜拉索局部振动包含的主要频率是与拉索自振频率最接近的斜拉索端点位移激励频率——梁体、桥塔振动包含的频率成分(列车速度为225 ～275 km/h 时，2 号和17 号斜拉索局部振动包含的主要频率也为端点激励频率，因所占比重小，表3 中未给出).

从主梁和桥塔动力响应的分析结果可知，位移响应受列车速度影响较小，而拉索局部振动位移响应对车速较敏感(表4).这主要是由于斜拉索振动源于拉索端部梁体、桥塔的位移激励，而梁体、桥塔激励频率主要由列车速度控制，且当激励频率与拉索自身基频非常接近时，将引起斜拉索共振，从而导致拉索振动位移增大. 如CRH3 动车组以275 km/h 的速度运行时，1 号拉索局部振动位移响应大于列车以325 ～350 km/h 的速度运行时.而比较频率幅值，列车速度275 km/h 时的频率值0.47 Hz 对应的梁体、桥塔激励频率幅值小于列车速度325 ～350 km/h 时的频率值0.60、0.55 Hz 对应的梁体、桥塔激励频率幅值. 由此可判定1 号斜拉索产生了共振(与列车速度225 和325 km/h 相比，列车速度275 km/h 时斜拉索的局部振动响应幅值并未迅速衰减，反而增大，见图6). 当拉索长24 ～85 m，直径118.71 ～129.87 mm 时，在列车荷载作用下，其局部振动位移幅值小于3 mm.

目前，斜拉索振动控制要求的容许振幅等于拉索直径或等于索长的1/1 700 ～1/300［14］.可见，虽然部分拉索产生了共振，但振动位移幅度较小. 实际上拉索产生索梁相关振动导致大幅共振的现象较少见［1］，这主要受拉索阻尼的影响［2，15］.

表4 不同列车速度下斜拉索的局部振动响应Tab.4 Local vibration responses of cables vs. train running speed

4 结 论

基于列车-线路-桥梁耦合振动理论与动力学模型，以某主跨115 m+95 m 的铁路矮塔斜拉桥为工程背景，考虑索与桥梁整体结构之间的相互作用，研究了列车以不同速度(CRH3 动车组，速度为225 ～350 km/h)通过桥梁时，斜拉索振动与桥梁整体振动之间的相关性. 研究表明，当列车在设计时速范围内通过桥梁时:

(1)全桥振动包含的主要频率为列车的等效外激励频率，其值小于全桥一阶振动频率，未引起全桥发生一阶及一阶以上大幅振动.

(2)全桥振动包含的主要频率和振动位移幅值均随列车速度提高而增大.振动位移响应幅值受各振动频率对应的位移幅值控制，其对列车速度的变化不如频率敏感;在列车荷载作用下，斜拉索局部振动源于拉索端部主梁、桥塔位移激励(全桥振动)，故斜拉索局部振动位移响应和响应幅值包含的主要频率和频率幅值均对列车速度较敏感.

(3)斜拉索局部振动包含的主要频率为与拉索自振频率最接近的斜拉索端点位移激励频率，说明列车荷载作用下索梁振动的相关性问题实质上是一个能量传递过程，当拉索端点位移激励频率与其自振频率接近时，能量易于在索梁间传递.

(4)当列车荷载的等效外激励频率与斜拉索自振频率接近时，斜拉索在外激励作用下会发生共振，但共振幅值不大(斜拉索局部振动位移幅值小于3 mm).

致谢:西南交通大学扬华之星资助项目.

［1］ 王涛，沈锐利，李洪. 斜拉桥索-梁相关振动概念及其研究方法初探［J］. 振动与冲击，2013，32(20):29-34.WANG Tao， SHEN Ruili， LI Hong. Primary exploration for concept and studying method of cablebeam vibration in a cable-stayed bridge［J］. Journal of Vibration and Shock，2013，32(20):29-34.

［2］ 龙俊贤，熊涛. 斜拉桥索梁耦合振动研究［J］. 交通科技，2012(5):27-30.LONG Junxian，XIONG Tao. Research on cable-beam coupled resonance of cable-stayed bridge［J］.Transportation Science and Technology，2012(5):27-30.

［3］ YANG Fuheng，FONDER G A. Dynamic response of cable-stayed bridges under moving loads［J］. Journal Engineering Mechanics，1998，124(7):741-747.

［4］ 张鹤，谢旭. 车辆荷载作用下大跨度斜拉桥钢和CFRP 拉索的非线性振动［J］. 工程力学，2009，26(8):123-130.ZHANG He，XIE Xun. Nonlinear vibration of steel and CFRP cables of long span cable-stayed bridge under vehicular loads［J］. Engineering Mechanics，2009，26(8):123-130.

［5］ DAS A，DUTTA A，TALUKDAR S. Efficient dynamic analysis of cable-stayed bridges under vehicular movement using space and time adaptivity［J］. Finite Elements in Analysis and Design，2004，40(4):407-424.

［6］ 谢旭，朱越峰，申永刚. 大跨度钢索和CFRP 索斜拉桥车桥耦合振动研究［J］. 工程力学，2007，24(增刊):53-61.XIE Xu，ZHU Yuefeng，SHEN Yonggang. Study on vibration of long-span cable-stayed bridge with steel and CFRP cables due to moving vehicles［J］. Engineering Mechanics，2007，24(Sup.):53-61.

［7］ 李小珍，刘德军，晋智斌. 大跨度铁路悬索桥车-线-桥耦合振动分析［J］. 钢结构，2010，25(12):6-12.LI Xiaozhen，LIU Dejun，JIN Zhibin. Analysis of traintrack-bridge coupled vibration of a railway long-span suspension bridge［J］. Steel Construction， 2010，25(12):6-12.

［8］ 雷虎军，李小珍，刘德军. 地震作用下高墩刚构桥行车安全性分析［J］. 地震工程与工程振动，2014，34(5):87-93.LEI Hujun，LI Xiaozhen，LIU Dejun. Train running safety analysis of high-pier rigid frame bridge under earthquake action［J］. Earthquake Engineering and Engineering Dynamics，2014，34(5):87-93.

［9］ 翟婉明，夏禾. 列车-轨道-桥梁动力相互作用理论与工程应用［M］. 北京:科学出版社，2011:32-43.

［10］ 王桥川. 大跨度钢桁拱桥行车安全性分析［D］. 成都:西南交通大学土木工程学院，2011.

［11］ 李小珍，雷虎军，朱艳. 车-轨-桥动力系统中Rayleigh阻尼参数分析［J］. 振动与冲击，2013，32(21):52-57.LI Xiaozhen，LEI Hujun，ZHU Yan. Analysis of Rayleigh damping parameters in a dynamic system of vehicle-track-bridge［J］. Journal of Vibration and Shock，2013，32(21):52-57.

［12］ 成水生. 大跨度斜拉桥拉索的振动及被动、半主动控制［D］. 杭州:浙江大学建筑工程学院，2002.

［13］ 杨素哲，陈艾荣. 超长斜拉索的参数振动［J］. 同济大学学报:自然科学版，2005，33(10):1303-1308.YANG Suzhe，CHEN Airong. Parametric oscillation of super-long stay cables［J］. Journal of Tongji University:Natural Science，2005，33(10):1303-1308.

［14］ 曾智勇. 桥面激励下斜拉索振动及其抑振研究［D］. 哈尔滨:哈尔滨工业大学土木工程学院，2010.

［15］ 陈丕华，王修勇，陈政清，等. 斜拉索面内参数振动的理论和试验研究［J］. 振动与冲击，2010，29(2):50-53.CHEN Pihua，WANG Xiuyong，CHEN Zhengqing，et al. Theoretical and experimental study on parametric oscillations in a stayed-cable［J］. Journal of Vibration and Shock，2010，29(2):50-53.