蒋敏

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图像与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是图像f（x）与图像 y=0交点的横坐标，两者相辅相成。

但有的问题，并不一定是把方程转化为图像f（x）与图像 y=0交点的横坐标，还可以转化为图像f（x）与图像g（x）交点问题，从而达到简化解题的目的。如何选择合适的图像f（x）与图像g（x），也就是本文所要探讨的问题。

本文希望通过由易到难的例题，利用图形计算器画出函数的图像，结合函数的图像，选择合适的图像来求参数范围，通过观察、讨论，最后能形成一些分析选择合适函数图像问题的经验（本文中图像上的A对应题中的参数a）。

一、例题

问题1：若函数f（x）=x2-x-a有2个零点，则求a的范围。

分析：

方法一：函数f（x）=x2-x-a有零点，即方程x2-x-a=0有两个不同实数根，只要满足△>0即可求a的范围。

方法二：可以从函数的图像角度来理解，看成是二次函数f（x）=x2-x-a图像与x轴有两个交点，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

实际上，等式还可以变形为：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分别看成是等式左边的函数图像与等式右边的函数图像有两个交点，展示如下：

展示1：画出y=x2-x与y=a图像，可以明显看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：画出y=x2与y=x+a图像，只要两个图像相切时是临界状态。

■

生3：画出y=x2-a与y=x图像，只要两个图像相切时是临界状态。

师：大家展示得都很好，也都能解决问题。从这个问题我们可以总结点什么出来呢？

生：方程的解的问题可以转化为函数图像的交点来解决。方程解的问题，可以选择不同的函数图像来构造交点。

通过对比，发现展示一的函数图像容易操作，优势明显。

问题2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，则求a的范围。

分析：根据刚刚的解题经验，从函数角度，此题可以看成f（x）=ax2-x-1图像在（0，1）上与x轴只有一个交点。要考虑当a<0，a=0，a>0的情况，发现函数图像过定点（0，-1），并且只要当a>0，f（1）>0时，满足题意，求出的范围。

其实还可以根据等式的恒等变形，还有可能这样几种情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即画y=g（x）=■与y=a图像，看在区间（0，1）上的交点，通过图像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但从图像上来看y=■图像要不通过计算器来作图，比较困难。因此只能通过令t=■换元，把等式变成a=t2+t来处理。

展示2：ax2=x+1，即画y=f（x）=ax2与y=g（x）=x+1图像，看交点，如下图展示。

通过动态图变化a，也能很容易得出结论，f（1）>g（1）即可。

■

通过上面的比较，大家会选择f（x）=ax2-x-1图像在（0，1）上与x轴只有一个交点，或者ax2=x+1形式来处理。因为这两种形式，在不用计算器的情况下，也能进行分析，而且所画图形不复杂，是我们常见的图形。

问题3：若关于x的方程■=ax2有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为   .

分析：讨论完零为解得情况后，方程还可以变形为■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通过图像展示，发现都能解出实数的范围。但是前两幅图像不通过计算器，画出来比较困难，第三幅看起来比较容易画出来。

二、小结

在本文研究过程中，我们发现了函数与方程是可以转化的，并且在转化的过程中，需要选择合适的函数来解题，选择的原则是尽可能让函数简单、易画，以转化为初等函数形式为主。

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图像与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是图像f（x）与图像 y=0交点的横坐标，两者相辅相成。

但有的问题，并不一定是把方程转化为图像f（x）与图像 y=0交点的横坐标，还可以转化为图像f（x）与图像g（x）交点问题，从而达到简化解题的目的。如何选择合适的图像f（x）与图像g（x），也就是本文所要探讨的问题。

本文希望通过由易到难的例题，利用图形计算器画出函数的图像，结合函数的图像，选择合适的图像来求参数范围，通过观察、讨论，最后能形成一些分析选择合适函数图像问题的经验（本文中图像上的A对应题中的参数a）。

一、例题

问题1：若函数f（x）=x2-x-a有2个零点，则求a的范围。

分析：

方法一：函数f（x）=x2-x-a有零点，即方程x2-x-a=0有两个不同实数根，只要满足△>0即可求a的范围。

方法二：可以从函数的图像角度来理解，看成是二次函数f（x）=x2-x-a图像与x轴有两个交点，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

实际上，等式还可以变形为：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分别看成是等式左边的函数图像与等式右边的函数图像有两个交点，展示如下：

展示1：画出y=x2-x与y=a图像，可以明显看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：画出y=x2与y=x+a图像，只要两个图像相切时是临界状态。

■

生3：画出y=x2-a与y=x图像，只要两个图像相切时是临界状态。

师：大家展示得都很好，也都能解决问题。从这个问题我们可以总结点什么出来呢？

生：方程的解的问题可以转化为函数图像的交点来解决。方程解的问题，可以选择不同的函数图像来构造交点。

通过对比，发现展示一的函数图像容易操作，优势明显。

问题2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，则求a的范围。

分析：根据刚刚的解题经验，从函数角度，此题可以看成f（x）=ax2-x-1图像在（0，1）上与x轴只有一个交点。要考虑当a<0，a=0，a>0的情况，发现函数图像过定点（0，-1），并且只要当a>0，f（1）>0时，满足题意，求出的范围。

其实还可以根据等式的恒等变形，还有可能这样几种情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即画y=g（x）=■与y=a图像，看在区间（0，1）上的交点，通过图像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但从图像上来看y=■图像要不通过计算器来作图，比较困难。因此只能通过令t=■换元，把等式变成a=t2+t来处理。

展示2：ax2=x+1，即画y=f（x）=ax2与y=g（x）=x+1图像，看交点，如下图展示。

通过动态图变化a，也能很容易得出结论，f（1）>g（1）即可。

■

通过上面的比较，大家会选择f（x）=ax2-x-1图像在（0，1）上与x轴只有一个交点，或者ax2=x+1形式来处理。因为这两种形式，在不用计算器的情况下，也能进行分析，而且所画图形不复杂，是我们常见的图形。

问题3：若关于x的方程■=ax2有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为   .

分析：讨论完零为解得情况后，方程还可以变形为■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通过图像展示，发现都能解出实数的范围。但是前两幅图像不通过计算器，画出来比较困难，第三幅看起来比较容易画出来。

二、小结

在本文研究过程中，我们发现了函数与方程是可以转化的，并且在转化的过程中，需要选择合适的函数来解题，选择的原则是尽可能让函数简单、易画，以转化为初等函数形式为主。

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图像与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。而方程y-f（x）=0的解也可以看成是图像f（x）与图像 y=0交点的横坐标，两者相辅相成。

但有的问题，并不一定是把方程转化为图像f（x）与图像 y=0交点的横坐标，还可以转化为图像f（x）与图像g（x）交点问题，从而达到简化解题的目的。如何选择合适的图像f（x）与图像g（x），也就是本文所要探讨的问题。

本文希望通过由易到难的例题，利用图形计算器画出函数的图像，结合函数的图像，选择合适的图像来求参数范围，通过观察、讨论，最后能形成一些分析选择合适函数图像问题的经验（本文中图像上的A对应题中的参数a）。

一、例题

问题1：若函数f（x）=x2-x-a有2个零点，则求a的范围。

分析：

方法一：函数f（x）=x2-x-a有零点，即方程x2-x-a=0有两个不同实数根，只要满足△>0即可求a的范围。

方法二：可以从函数的图像角度来理解，看成是二次函数f（x）=x2-x-a图像与x轴有两个交点，即只要求出f（x）的最小值小于0即可。

实际上，等式还可以变形为：

1.x2-x=a;

2.x2=a+x;

3.x2-a=x。

那也可以分别看成是等式左边的函数图像与等式右边的函数图像有两个交点，展示如下：

展示1：画出y=x2-x与y=a图像，可以明显看出只a要大于y=x2-x的最小值即可。

■

展示2：画出y=x2与y=x+a图像，只要两个图像相切时是临界状态。

■

生3：画出y=x2-a与y=x图像，只要两个图像相切时是临界状态。

师：大家展示得都很好，也都能解决问题。从这个问题我们可以总结点什么出来呢？

生：方程的解的问题可以转化为函数图像的交点来解决。方程解的问题，可以选择不同的函数图像来构造交点。

通过对比，发现展示一的函数图像容易操作，优势明显。

问题2：若方程ax2-x-1=0的解在（0，1）上，则求a的范围。

分析：根据刚刚的解题经验，从函数角度，此题可以看成f（x）=ax2-x-1图像在（0，1）上与x轴只有一个交点。要考虑当a<0，a=0，a>0的情况，发现函数图像过定点（0，-1），并且只要当a>0，f（1）>0时，满足题意，求出的范围。

其实还可以根据等式的恒等变形，还有可能这样几种情形：

1.a=■=■+■

2.ax2=x+1

展示1：a=■=■+■，即画y=g（x）=■与y=a图像，看在区间（0，1）上的交点，通过图像，很容易知道只要a>g（1）即可。

■

但从图像上来看y=■图像要不通过计算器来作图，比较困难。因此只能通过令t=■换元，把等式变成a=t2+t来处理。

展示2：ax2=x+1，即画y=f（x）=ax2与y=g（x）=x+1图像，看交点，如下图展示。

通过动态图变化a，也能很容易得出结论，f（1）>g（1）即可。

■

通过上面的比较，大家会选择f（x）=ax2-x-1图像在（0，1）上与x轴只有一个交点，或者ax2=x+1形式来处理。因为这两种形式，在不用计算器的情况下，也能进行分析，而且所画图形不复杂，是我们常见的图形。

问题3：若关于x的方程■=ax2有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为   .

分析：讨论完零为解得情况后，方程还可以变形为■=a，■=a（x-1），■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）。

展示1：■=a|x|，（x≠0且x≠1）

■

展示2：■=a（x-1），（x≠0且x≠1）

■

展示3：■=|x|（x-1），（x≠0且x≠1）

■

通过图像展示，发现都能解出实数的范围。但是前两幅图像不通过计算器，画出来比较困难，第三幅看起来比较容易画出来。

二、小结

在本文研究过程中，我们发现了函数与方程是可以转化的，并且在转化的过程中，需要选择合适的函数来解题，选择的原则是尽可能让函数简单、易画，以转化为初等函数形式为主。