王燕，李想，吕程

（1.南开大学经济与社会发展研究院，天津市300071；2.南开大学经济学院，天津市300071）

基于分形模型的京津冀铁路网络协同发展
——与长江三角洲、珠江三角洲的比较分析

王燕1，李想2，吕程2

（1.南开大学经济与社会发展研究院，天津市300071；2.南开大学经济学院，天津市300071）

目前，京津冀协同发展已经上升为国家战略，而交通一体化、生态环境保护、产业对接协作成为京津冀协同发展的三个突破口，其中交通一体化作为基础条件应当先行启动，率先突破，特别是区域铁路网络一体化是非常重要的一环。文章基于非线性分形模型，测算京津冀铁路网络均匀度和复杂度，考察铁路规模与经济增长之间的协调关系。结果发现，尽管与长江三角洲和珠江三角洲相比，京津冀铁路拥有较高的网络密度，但存在过度集中于北京枢纽的结构性问题，加之近十年来京津冀铁路规模扩张速度低于经济增长速度，已经出现了较为明显的门限作用。为更好地实现京津冀优势互补，促进并带动环渤海经济区以及北方腹地的发展，未来京津冀铁路网络建设必须以协调发展为前提，建设并调整铁路网络布局，将以北京为核心的放射型铁路网络转换为环放结合的网络形态，打造京津双核铁路枢纽，打破区域内铁路网络分布不均衡的现状，缓解首都过境交通压力，促进京津冀铁路网络布局转型升级。

交通运输经济；网络通达性；分形模型；京津冀协同发展

一、引言

京津冀协同发展已经上升为国家战略，这是我国经济新常态下动力转换期的重要抓手。交通一体化、生态环境保护、产业对接协作是京津冀协同发展的三个突破口，其中交通一体化作为基础条件应当先行启动，率先突破，而区域铁路网络一体化是其中非常重要的一环。

对于区域铁路网络一体化问题，可从两方面论证：一方面是用区域网络通达性反映的一体化技术特征；另一方面是用网络和区域经济发展适应度描述的一体化经济特征。国内外学者在这两个方面已经提出了一些重要的观点。有关交通网络通达性的研究主要集中在如何科学、多维度地刻画通达性特征方面。维托·拉托拉（Vito Latora）等[1]将地铁抽象成一个无向加权图，对波士顿地铁的网络特性进行研究，结果发现波士顿地铁网络整体效率很高，而局部效率和成本很低；帕伦伽马·森（Parongama Sen）等[2]提出了P空间的网络构建方法，将车站视为网络的节点，将两个车站之间铁路线的连接视为网络的边，用铁路网的集聚系数、网络度分布、平均路径长度等网络特征描述印度铁路网络的通达性；费尔伯（Ferber）等、[3]阿玛拉尔（Amaral）等[4]从拓扑学角度，基于交通流量对交通网络的重要作用，对铁路网络的点强度、权重等性质进行了深入分析。我国有关铁路网络通达性评价的研究较少，金凤君等[5]从时间成本角度研究了我国20世纪铁路提速与区域通达性演变的关系，发现我国铁路网络空间覆盖范围不断扩大但扩展缓慢，通达性空间格局呈同心圈层结构，华北地区最优，并向周边东南、东北、西南、西北辐射；赵伟等[6]基于L空间对我国铁路网络进行研究发现，我国铁路网络集聚系数和节点度均较小，这种网络安全性较低，一旦主干道轨道出现问题，很大范围的铁路运输都将受阻。关于交通网络与区域经济发展之间关系的研究开始得较早，国外有关区域交通对经济发展影响的系统研究起源于区位论，大多给出特定的前提假设，如生产要素瞬时流动或空间匀质，着眼于空间分布区位因素及客体与空间的联系进行理论推导，以强调交通运输对区域经济发展的重要作用。[7]20世纪后期，国内学者主要通过研究交通运输供需来阐释其与经济发展之间的适应性关系。例如，武旭等[8]将交通运输系统与经济系统视为互为输入输出关系的投入产出系统，建立交通运输与经济协调发展评价数据包络分析模型来评价两者发展的协调性，发现20世纪90年代以来我国交通运输发展滞后于经济发展，越来越成为国家经济发展的制约因素，交通运输系统对经济系统的状态协调度逐年下降；张学良[9]利用面板数据进行固定效应和随机效应估计，讨论交通先行在中部崛起中的作用，发现近年来中西部地区交通基础设施建设的速度大大超过了东部地区，并提出中部崛起必须重点和优先发展中部地区的交通基础设施。

综上所述，国内外专家学者在交通网络通达性度量方面已经取得了一系列研究成果，但这些方法局限于传统的节点、路径描述与线性回归分析，缺乏对错综复杂网络特征的揭示。鉴于此，本文将借助分形方法，尝试揭示铁路复杂网络特征及其与经济系统之间的非线性关系。首先，选取豪斯道夫（Hausdorff）维数和分枝维数，分别从均匀度、复杂度两个视角考察京津冀现有铁路网络通达程度，并与长江三角洲、珠江三角洲进行对比；其次，建立铁路规模与区域经济产出协调性分形模型，通过该非线性系统的广义分形维数阐释铁路网络与区域经济产出之间的非线性关联关系和适应程度。通过这两项工作，本文将对京津冀铁路网络的规模和结构进行总体评价，并针对其暴露出来的问题提出解决思路。

二、分形模型与数据来源

分形模型来自于分形几何学，该学科是非线性科学一个发展迅速、应用广泛的研究领域。[10]其最基本的特点就是以分数维度来研究和描述客观事物，使研究结果能够更加准确地刻画复杂系统的非线性特征，从而更加趋近于真实的状态与属性。分形具有标度不变性，亦称自相似性或自仿射性，即在通常的几何变换下具有不变的特性。这种特性要求调整其所占用空间的结构，使之具有无限嵌套层次的精细结构，导致分形维数为分数值。

1.网络通达性评价的分形方法

为考察京津冀地区铁路网络的通达性，选取分形理论中的豪斯道夫维数和分枝维数，测算铁路网络的均匀度和复杂度。

（1）网络覆盖均匀度评价的分形方法。豪斯道夫维数作为分形维数的数学基础，描述了分形这种不规则图形的复杂程度与占用空间程度。[11]

本文利用豪斯道夫维数的一种修正算法衡量路网覆盖均匀度。具体测算方法如下：

将D维的铁路网络空间分割成边长为ε的小正方形，将非空的正方形格子数目计为N（ε），当ε变化时，N（ε）随之改变。我们构造N（ε）与ε的双对数关系图，在其中标注所得到的相应数据点，用偏最小二乘法进行拟合，得到：

式中，双对数坐标系中直线的斜率D即为我们所研究铁路网络的分形维数，D值越大，路网分布越均匀。[12]

利用此方法测算的网络均匀度不仅能够反映较为宏观的网络整体密度情况，并且能够精确了解研究对象各细小区域网络密度的分布情况，适用于更为具体的网络规划，是进行铁路网络评价并提出实际建议的较为适合的指标，能够比以往常用的以单位国土面积或人均路网长度测算的道路密集程度更为深入而准确地反映网络的分布细节。

（2）网络复杂度评价的分形方法。分枝维数从网络结构的复杂度角度得到两个分别反映枢纽位置和腹地网络复杂程度的指标，较以往仅仅测算网络整体复杂度的方法能够更加具体地阐释网络内部结构，为网络结构的高级化提供更为有效的依据。

假设有一个区域R，其中分布着交通网络T，以交通枢纽H为圆心做回转半径r，r依次取r=1，2，…，n单位，则形成n个等宽的同心圆环带，从内向外赋予编号为k=1，2，…，n，假定第k号环带中交通网络的分枝数之和为N（k），定义：

其中，r=1，2，…，n。

很显然，N（r）为环带分枝累积数。当r=1时，k取1，N（r）=N（1）；当r=2时，k取1、2，N（r）=N（1）+N（2）；……；当r=n时，k取1、2、…、n，N（r）=N（1）+N（2）+…+N（n）。若存在关系：

（3）式表明，交通网络的分枝结构具有自相似的分形性质，Dt为分形维数，即本文用以衡量铁路网络复杂度的分枝维数，反映区域交通网络分枝结构的特征。[13]

依据此定义，本文进行铁路网络分枝维数的计算。其中，网络分枝的计数原则是，从一个节点分出几个分枝计几次数。

考虑到式（3）有比例系数N1，化为N（r）=N1rDt，取对数得：

其中，Dt反映整个区域交通网络的发育程度，Dt值越大，区域交通网络越复杂；N1反映中心城市附近交通网络的发育程度，N1值越大，区域中心城市交通网络越复杂。

2.铁路规模与经济产出协调性的分形模型

利用分形思想建立铁路规模与经济产出之间的时间序列广义分形模型，以系统的分形维数标度非线性关联程度，可以更为准确地刻画两者发展的适应性关系问题，从而解释两者间的适应性程度。鉴于区域经济系统本质上的非线性特征，本文建立下面的铁路规模与经济产出的非线性系统。

定义一个区域铁路规模与经济产出的关联系统：[14-15]

其中，i=1，2，…，n。

对式（5）进行泰勒级数变换并化简，在只考虑两个要素的情况下有：

其中，ai、aj是相对增长系数，由式（6）可得系统的异速增长方程：

其中，b=ai/aj，为异速增长系数。经积分变换可得：

其中，βi=ec，为比例系数，c为常数，异速增长系数b为标度因子。假定相应的测度xi在广义空间的维数为Di，则由几何测度关系有：

比较式（8）、式（9）可知：

式（10）即是铁路与经济系统异速增长的维数方程，b具有分形维数性质。

另一方面，设运输系统要素xi（i=1，2，…，n）与经济产出y之间的关系为：

其中，k为常数。经全微分变换可得：

其中，μ为系数，σi为参数，σi可表示为：

式（12）为柯布·道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数的一般形式，可见其从系统的角度反映了基于分形结构的运输与经济系统的功能特征。

将式（8）代入式（12），可以得到运输系统要素xi与经济产出y的幂指数关系，令xi=s为运输系统规模，则有：

式（14）中，a为系数，b=D1/D2，具有广义的分形维数性质，即假定y为D1维，s为D2维，只要b不为整数，系统就具有分形维数性质。本文取铁路规模为s，经济产出为y，利用y=y（t）、s=s（t）的时间序列数据，使式（14）成为铁路规模与经济产出的动力相似模型，它们之间本质上具有自相似性，其分形性质由几何体的测度关系引申而来。弹性系数b的经济含义为，当b=1时，表明经济产出y与铁路规模s同速率增长；当b＞1时，表明经济产出y的相对增长速率较铁路规模s快；当0＜b＜1时，表明经济产出y的相对增长速率较铁路规模s慢。

三、实证分析

为评价京津冀铁路网络通达性及其与区域经济发展的适应程度，本文以我国长江三角洲、珠江三角洲经济圈为参照，进行比较研究。首先，根据上述模型，利用京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈2012年的铁路网络图分别对其铁路网络通达性进行比较分析；其次，采用2003—2012年的铁路营业里程及地区生产总值来分析京津冀铁路网络发展与经济增长间的协调关系。

1.京津冀铁路网络通达性比较

（1）三大经济圈铁路网络覆盖均匀度测算。首先，测算京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈的豪斯道夫维数。以实际距离10千米为步长（地图中的测量长度为1/3厘米），分别用边长ε为10千米、20千米、30千米、40千米、50千米、60千米、70千米、80千米、90千米、100千米的正方形切割京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈的铁路网络，得到相应的N（ε）值，并求出相应的lgε、lg N（ε）值。然后，对lgε、lg N（ε）序列运用最小二乘法进行回归分析，得到三大经济圈的豪斯道夫维数。

由拟合结果可以看出，京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈铁路网络的lgε、lg N(ε)均呈近似线性分布，拟合优度R2分别达到0.998、0.999和0.998，豪斯道夫维数分别在p＜0.05、p＜0.01、p＜0.001的水平下显著，且三大经济圈的豪斯道夫维数均处在1～2之间，说明京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈的铁路网络具有明显的分形性质。因此，根据测算结果，京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈的豪斯道夫维数分别为1.350、1.155、1.092。而豪斯道夫维数越大，所对应区域的铁路网络覆盖越均匀，这说明京津冀地区铁路网络覆盖均匀度优于长江三角洲和珠江三角洲地区。具体参见表1、表2。

（2）三大经济圈铁路网络复杂度评价。京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈铁路网络的复杂度运用分枝维数进行测算。以各经济圈铁路枢纽城市的火车站作为测算圆心，根据其在地图中大小、方位、形状的不同选取不同的单位半径，r分别取1、2、…、7个单位，做同心圆分割各经济圈铁路网络，进而测算得到相应的N（k）值，累加得到N（r）值，求出相应的ln r与ln N（r）值，最后对ln r与ln N（r）进行拟合，并利用最小二乘法进行回归分析。测算值及回归结果见表3、表4。

从三大经济圈铁路网络ln r、ln N（r）的最小二乘回归结果看，京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈铁路网络的ln r、ln N（r）均呈近似线性分布，其拟合优度R2均高于0.9，最大为0.980，最小为0.935，分枝维数在p＜0.05、p＜0.01、p＜0.001的水平下显著，说明京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈铁路网络具有明显的分形性质。由测算结果可知，三大经济圈按铁路网络分枝维数由大到小排列，依次为长江三角洲、京津冀、珠江三角洲，分别为1.394、1.316、1.246。

当N1值较高，分枝维数D也较高时，区域铁路网络发育程度较高，系统比较复杂；当N1值较高，分枝维数D较低时，区域铁路网络分布集中于铁路枢纽城市附近，其他地区铁路网络发育程度不高，整个系统复杂度不高；当N1值较低，分枝维数D较高时，区域铁路枢纽城市与区域其他地区铁路网络发育程度较为均衡，但整个区域的路网未必健全；当N1值较低，分枝维数D也较低时，区域铁路网络分布不均衡，且区域内交通条件较差，交通系统较为简单。三大经济圈铁路网络分枝维数及N1值散点图如图1所示。其中，横坐标代表分枝维数，纵坐标代表N1值，坐标系中的区域越靠近右上方表示铁路网络发育程度越高，复杂度越高。

表1 京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈豪斯道夫维数测算表

表2 京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈lgε、lg N（ε）最小二乘法回归结果

表3 京津冀经济圈各中心城市分枝维数测算

表4 京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈分枝维数最小二乘回归结果

由图1不难看出，京津冀经济圈的N1值高于长江三角洲经济圈和珠江三角洲经济圈，说明京津冀经济圈中心区域铁路网络复杂度最高；京津冀经济圈分枝维数D高于珠江三角洲经济圈，却低于长江三角洲经济圈，说明在整体复杂度方面，京津冀经济圈较长江三角洲经济圈差。综合来看，京津冀经济圈中心枢纽区域铁路网络复杂度较高，铁路网络以枢纽城市北京为中心向外发散，这与北京地区作为国家经济与政治中心以及全国枢纽的地位是密不可分的，不过其腹地铁路网络复杂度不高，发育程度与铁路枢纽城市相差较大，北京、天津、河北三省市经济发展位差过大，铁路网络建设水平也相距甚远，整个京津冀经济圈的铁路网络复杂度不及长江三角洲地区。

2.京津冀铁路规模与经济增长协调性

（1）三大经济圈铁路规模与经济增长协调性测算。分析三大经济圈2003—2012年统计数据可以发现，铁路规模y与经济产出s之间的线性相关性较弱，拟合模型相关系数和F检验结果不理想。进一步分析发现，y与s之间采用铁路规模与经济产出协调性的分形模型，即式（14）所示的幂指数关系模型拟合较为理想。其中，取铁路规模s为铁路营业里程Lt，取yt为平减后的国内生产总值，则式（14）可化为：

对两边同时取对数，可化为：

计算相应的ln yt、ln Lt值（表5），并绘制三大经济圈ln yt、ln Lt的散点图及拟合直线图（图2）。进一步利用最小二乘法对ln yt、ln Lt进行回归分析，回归结果参见表6。

运用Stata软件对所建立的模型进行回归分析发现，三大经济圈铁路规模与经济增长满足双对数线性关系，均通过了显著性检验，三大经济圈铁路规模与经济增长协调性的广义分形维数均不为整数，三个系统均具有分形维数性质。

（2）三大经济圈铁路规模与经济增长协调性分析。根据铁路规模与经济增长协调性分形模型测算结果，可以得到京津冀经济圈铁路规模与经济产出协调性相关结论如下：

图1 京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈分枝维数和N1值散点图

京津冀经济圈广义分形维数b=2.322，表明近十年来京津冀经济圈铁路规模增速比经济发展增速慢；相对地，长江三角洲经济圈广义分形维数b=1.006，表明其铁路规模增速基本同步于经济产出增速；而珠江三角洲经济圈广义分形维数b=0.979，其铁路规模增速略微超前于地区经济增速。

究其原因，京津冀经济圈铁路网络在21世纪之前就已经比较发达了，覆盖较为全面，故近十年来铁路规模增长速度偏低，滞后于剔除通货膨胀后经济年均5.43%的高增长率。与之相对，长江三角洲、珠江三角洲经济圈铁路规模与经济产出协调性广义分形维数均接近于1，近十年来其铁路规模与经济产出基本保持同速增长，珠江三角洲经济圈铁路规模增速略高于剔除通货膨胀后经济年均4.36%的高增速，但差异不大。观察三大经济圈ln yt、ln Lt的散点图及拟合直线图（图2）不难发现，散点图呈现出明显的分段性质，以第7个点为分界点，前半段斜率较大，后半段斜率较小。因此，可考虑通过分段拟合，提升可决系数，优化拟合程度，并重新作出三大经济圈ln yt、ln Lt的散点图及分段拟合直线图，具体参见图3。

表5 京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈ln yt、ln Lt计算值

由图3不难发现，分段拟合后，拟合优度较直接拟合有了较大幅度提升。三大经济圈的ln yt、ln Lt散点图及分段拟合直线图均表现出如下特征：以第七个点为分界点，前半段斜率较大，拟合直线较为陡峭；后半段斜率较小，拟合直线较为平缓。这种分段现象主要可归结为两个方面的原因：

一是随着铁路规模的不断扩大，铁路网络对经济的向前诱发效应及向后波及效应逐渐变弱，即铁路网络建设对相关产业的需求拉动作用以及铁路网络对经济社会发展的推动作用逐渐变弱，或者说铁路规模增长对经济产出具有门限效用，当铁路规模达到一定界限时，其对经济增长的影响逐渐变弱，因此经济增速将落后于铁路规模增速。

二是三大经济圈拟合斜率发生明显转变的点为第七个点，所对应的时间为2009年。究其原因，受2008年国际金融危机以及事后国家宏观调控的影响，我国京津冀、长江三角洲、珠江三角洲三大经济圈经济均受到严重影响，呈现出高位回落的走势，出现了出口困难和经济增长放缓等情形。因此2009—2012年，三大经济圈经济增长速率落后于铁路规模增长速率。

表6 京津冀、长江三角洲、珠江三角洲经济圈ln yt、ln Lt的最小二乘法回归结果

图2 我国三大经济圈ln yt、ln Lt散点图、拟合直线图

四、结论

本文通过对京津冀铁路网络通达性及其与区域经济发展协调性的客观评价，得出以下几点结论和建议：

1.京津冀铁路网络发达，密度居三大经济圈前列

本文研究发现，京津冀地区铁路均匀度在三大经济圈中相对领先，铁路覆盖已经形成完整的网络。按照统计单位国土面积的铁路营业里程计算，2012年天津路网密度全国第一，为768千米/万平方千米，其次是北京，为760千米/万平方千米，高于长江三角洲核心地区上海的739千米/万平方千米，并远远超过珠江三角洲核心地区广东的158千米/万平方千米。京津城际、京沪高铁、津秦高铁的陆续建成也使天津初步形成了主要的对外高铁客运通道，为打造双核心的京津冀铁路枢纽奠定了良好的基础。

2.京津冀铁路网络存在过度集中于北京且呈放射性布局的结构性问题，亟需向双核型与环放式相结合的结构转型

复杂度测算结果显示，在京津冀地区，北京铁路网络高度发达，而周边地区铁路网络匹配不足。天津及河北地区与北京地区已经形成了很大的位差，这不仅导致北京城市交通压力过大，而且影响了京津冀铁路网络整体双核经济与密度经济的发展。同时，自北京向外的放射型布局使得外围联络性通道缺失，尽管天津拥有良好的区位优势，但与京津冀其他中心城市铁路联系不便，至保定、承德的铁路需要绕经北京，到京广线、京包线、京承线上的中心城市铁路联系不便，与京广线、京九线、京包线等大通道衔接不畅，冀中南以及冀东城镇间铁路联系的中转组织功能仍然主要由北京枢纽承担。因此，亟需将北京的放射型铁路网络转变为环放结合的网络形式，加快促进天津、河北形成京津冀铁路枢纽，缓解过境压力，提升铁路网络质量及运输效率，使京津冀铁路网络布局结构朝着合理化方向发展，力求通达程度更高，运输能力更强，实现铁路网络结构的优化。

3.京津冀铁路网络对地区经济发展拉动的门限效应已经显现，适度超前发展成为京津冀协调发展的重要前提

根据铁路规模与经济产出协调性分形模型的测算结果，在铁路网络建设尚不完备的情况下，区域内较快建设铁路网络并扩大网络规模，能够很好地拉动经济发展。然而，待交通基础设施达到一定规模之后，其门限效应显现，对经济的拉动作用减弱。京津冀经济圈铁路网络已经具备了可观的规模，门限作用已经显现，且近年来铁路规模增长速度滞后于经济增长速度。但是，考虑到目前致力于京津冀协调发展的国家重要战略部署关乎未来我国经济总体格局，在这样的背景下，未来京津冀铁路网络建设应本着协调发展的目标，建设并调整铁路网络布局，解决区域内铁路网络分布不均衡的现状，这是实现京津冀优势互补、促进环渤海经济区发展、带动北方腹地发展的需要。

图3 三大经济圈ln yt、ln Lt的散点图、分段拟合直线图

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责任编辑：陈诗静

Study on the Coordinated Development of Beijing-Tianjin-Hebei Railway Network based on Fractal Model——the Comparative Analysis with the Yangtze River Delta and the Pearl River Delta

WANG Yan，LI Xiang and LV Cheng
（Nankai University，Tianjin300071，China）

At present，the coordinated development in Beijing，Tianjin and Hebei has become our national strategy. Transportation integration，environmental protection and industrial connectivity are the three breakthroughs of that.And transportation integration，especially the integration of regional railway network，is the basic condition for the coordinated development in thisarea and willbe realized first.Based on the nonlinear fractalmodel，the author calculates the evenness and the complexity of Beijing-Tianjin-Hebei railway network，and the coordination between railway scale and econom ic growth. Conclusions have shown that，compared with the Yangtze river delta and the pearl river delta，Beijing-Tianjin-Hebei railway network has a higher density，but ithas structural problem that railway is excessively concentrated in Beijing.At the same time，the railway expansion speed of Beijing-Tianjin-Hebei is lower than economic growth，and there has been an apparent threshold effect.To better realize complementing each other’s advantages，promote and lead the developmentof BohaiSea econom ic zone and the development of North China，in the future，the construction of railway network in Beijing-Tianjin-Hebei should take coordinated developmentas the precondition，build and adjust the arrangementof that，convert the radiation railway network to a network combined with ring and radiation，solve the problem of imbalance distribution of the regional railway network，alleviate the transportation pressure on Beijing，and promote the transformation and upgrading of the layout of Beijing-Tianjin-Hebei railway network.

transportation economy；railway network accessibility；fractalmodel；the coordinated developmentof Beijing-Tianjin-Hebei

F129.9

A

1007-8266（2015）08-0047-08

王燕（1955—），女，辽宁省沈阳市人，南开大学经济与社会发展研究院教授，主要研究方向为产业经济、产业政策和交通经济；李想（1990—），女，内蒙古自治区通辽市人，南开大学经济学院博士研究生，主要研究方向为交通经济、能源和环境经济学；吕程（1991—），男，河南省新乡市人，南开大学经济学院博士研究生，主要研究方向为交通经济、区域经济和物流产业分析。