孟庆云

（河南工业大学理学院，河南 郑州 450001）

线性代数课程教学中的问题探析

孟庆云

（河南工业大学理学院，河南 郑州 450001）

针对线性代数课程教学过程中学生在不同阶段遇到的一些问题，本文结合课程特点、现实状况以及教学经验，通过实例分析的方式，相应地给出教学过程中的三点建议，使学生在初期学习有章可循，中期学习时掌握核心思想方法，后期能够灵活地综合理解与应用所学知识。

线性代数；教学；阶段问题

线性代数是理、工、管等相关专业学生的一门重要的基础课。由于课程本身的高度抽象性以及课程理论体系中概念多、定理多、符号多、运算规律多等特点，使得学生在初学时都会感到困难。本文在分析课程特点与现实状况的基础上，对学生在学习线性代数课程的过程中所遇到的共性问题进行分析。针对他们在不同学习阶段的这些共性问题，结合作者多年的课程教学实践活动，通过实例分析的方式相应地给出三点建议，使学生在初期学习有章可循，中期学习时掌握核心思想方法，后期能够灵活地综合理解与应用所学知识。

1 把实数运算的相关理论作为初期矩阵学习的参照物

线性代数的高度抽象性是学生初学时感到困难的主要因素。因此，讲授一些容易帮助学生建立直觉的数学模型是有必要的。但是，目前国内绝大多数数学教材采用的是公理化体系，以实用为导向的数学模型欠缺。特别地，对于线性代数这门课程，一般院校为这门课程安排的学时不超过50个（以被全国超过90%的院校采用的同济5版的《工程数学——线性代数》为例），这种情况下，单纯理论的完整讲授就已经比较紧张，这就使得带有各种背景的具体数学模型的讲授无暇安排。因此，要使学生在较短的时间理解矩阵的相关概念及运算是困难的。

针对上述问题，建议在教学一开始，引导学生将其熟知的实数运算作为初期矩阵学习的参照物。这样，使学生学习起来有物可比，有章可循。比如，从矩阵乘法不满足消去律这一问题出发，通过引导学生分析实数对于乘法是如何做到满足消去律的过程，引出矩阵可逆的相关概念，并顺便解决矩阵乘法何时可满足消去律这一问题。进一步，通过让学生回忆一元一次方程求解的过程，掌握用矩阵的逆求解矩阵方程的方法。这样，通过比较学习，学生可以在较短的时间在对矩阵的相关运算理论有比较完整、准确地掌握；同时，这对学生在运用已知理论（比如实数运算的相关理论）来“提出问题（矩阵运算有哪些相关规律），分析问题并解决问题”的能力方面的培养是很好的锻炼。并且，这种方法适用于各个学科的学生。

2 有意识地培养学生利用等价思想来解决线性代数中的问题

等价思想方法是线性代数课程中处理问题的最重要、最常用的方法。事实上，线性代数研究的正是矩阵在线性变换下的不变量。但在矩阵的相关概念与运算理论学完后，学生往往对此整体思想不明确，使得其在中后期学习时非常盲目。常常出现的问题是：学生在面对一个题目时，即使通过练习知道如何解，但却不知为什么要这样做。这就是通常所说的“知其然不知其所以然”的状况。这是脱离线性代数课程教学目标的。比如，对矩阵秩的求法，是通过初等行变换将其化为行阶梯形矩阵后数其非零行的个数。这就是用的等价思想方法。由于我们所研究的量（矩阵的秩）在初等行（列）变换下保持不变，因此可以利用初等变换将矩阵化为简单的形式（行阶梯形矩阵），再读出其秩。在这个过程中，告诉学生线性变换就像一个个“照妖镜”，利用其作为工具能够将变换前的矩阵的一些本质的东西照出来。类似地，求向量组的最大无关组以及相关向量表示等重要问题的解决都是利用这种思想。因此，在线性代数学习中期，有意识的培养学生利用等价思想方法，对其后面的深入学习有指导性意义。

3 注重引导学生对同一对象不同表达形式的充分理解与灵活运用

线性代数课程概念联系紧密，理论纵横交错。特别到后期，理论综合性加强，学生在学习的过程中经常遇到面对众多理论却不会解题的尴尬情形。分析这种情况出现的原因，其中主要一点是线性代数课程中符号多，而恰当地运用符号能够事半功倍。比如，线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式等。在学生能够熟练掌握齐次线性方程组的向量形式后，向量组的线性相关（无关）的判定可以由定义出发非常自然的转化为其对应的齐次线性方程组有（无）非零解的问题。从而将抽象的向量问题转化为学生熟知的方程组解的问题。再比如，学习完向量的正交这个概念后，齐次线性方程组有无非零解又可以理解为是否存在非零向量与其系数矩阵的各行向量正交。这样，通过所学的新概念将以前的符号赋予新的意义，就能够帮助学生将所学知识融会贯通，使其更加深入的理解并掌握它们。

线性代数课程课时少但内容相当丰富。因此，针对学生在不同学习阶段的问题，探讨一些适当方法来解决是非常必要的。实践教学中，我们发现在线性代数课程教学的初、中、后期分别注意到以上三点，教学效果有明显提高。

[1]李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化，2004（1）.

[2]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学方法之一[J].高等数学研究，2008（11）.

[3]朱春钢.向量组的线性相关性的教学方法与技巧[J].高等数学研究，2010（4）.

O151.2

A

1671-0037（2014）06-111-1

孟庆云（1982.10-），女，博士，讲师，研究方向：有限群及其表示理论、代数图论等。