小学数学教科书“式与方程”的衔接特点探析

2014-11-28孔明英

教学与管理(小学版) 2014年8期

孔明英

小学数学教科书作为教师教与学生学的范本与主要素材，其内容的衔接影响着数学教与学的方式、途径、效果等多个层面。特别是对类似于“式与方程”这样的知识，既是小学数学由算术过渡到代数的第一个显性知识模块，又是数学在知识内容、思想方法与思维方式上的一次飞跃，作为一个关键节点的知识模块，其内容本身及其与前后知识的衔接对小学生的数学学习、数学思维的过渡与发展均具有重要影响。下面拟以现行苏教版的小学数学教科书为例，探寻“式与方程”的衔接特征，以期为教科书的设置以及教师对教材的有效使用提供一些帮助。

一、教科书中“式与方程”的衔接特征

1. 主体内容的独立单元式螺旋上升

小学数学中的“式与方程”主要包括用字母表示数、简易方程和列方程解决简单的实际问题等内容。苏教版小学数学教科书就“式与方程”的内容，根据学生的心理特征、知识间的逻辑关系等情况，在编排方式上采用了螺旋上升式。其具体的设置情况如表1所示。

表 1 苏教版教科书“式与方程”主体单元设置情况

苏教版教科书在四年级下学期最后一个单元安排了用字母表示数，这是在学生经过第一学段的准备后，明确设置代数知识，要求渗透代数思想方法的独立单元。在此单元中教材大部分内容是先通过简单的问题情境，让学生先理解字母可以表示数，进而逐步提升原有问题情境的复杂性，循序渐进地引导学生熟练地使用含有字母的式子表示各种基本的数量关系。其中的例题大多数采用了归纳的思想方法，通过特例、由算式表示数量等，启发学生归纳出一般的规律，而这个一般规律需要用含有字母的式子来表示。如下例所示：

摆1个三角形用3根小棒

摆2个三角形用小棒的根数是：2×3

摆3个三角形用小棒的根数是：（）×3

摆4个三角形用小棒的根数是：（）×3

……

摆a个三角形用小棒的根数是：（）×（）

问题：你知道这里的a可以表示哪些数么？[1]

接着再学习化简形如“ax±by”这样含有字母的式子，这部分需要列出的含有字母的式子已经达到了以三步运算为主，且是后继学习形如ax+by=c式方程的基础。

到五年级下册第一单元方程部分，教材首先结合具体情境——“用式子表示天平两边物体的质量关系”，引导学生了解等式和方程的关系，理解并会应用包含四则运算的简单方程。其中有关等式的性质是贯穿整个方程学习的核心——“等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式”，“等式两边同时乘以或除以同一个不等于0的数，所得的结果仍然是等式”。这样使先前等式性质与新知充分联系起来。教材另外重点强调的是未知数的表达既可以是“x”，亦可以是“y”，还可以是“a”，甚至可以是任何字母，即数学不再是单纯地研究量的科学，还是研究结构的科学，“变量不再表示数，而是表示一个给定域中的类[2]”（如在五年级下册苏教版教材第2页到第3页都刻意用不同的字母来表示等式中的未知量）。同时拓展了字母代数的含义，做到有机地与“式与方程”前一单元内容的衔接。

到六年级上册的方程单元，考虑到学生已经能够熟练地运用等式的性质来解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b的方程，对于ax±by的化简也已学过，教科书主要设置用形如ax+b=c、ax÷b=c和ax+bx=c的方程来解决实际问题，并引导学生自主探索有关方程的解法。三个独立单元的学习使学生分析、抽象概括的能力得到增强，符号感得到逐步发展，与此同时，对方程解的准确性检验，在文化层面上还传递了一种自省的内涵。

2.多层面的渐进式前置渗透

表 2 “式与方程”前置性内容简要分析

由符号“●”“▲”“（）”“□”这些既可表示填写数的空位，也可用来表示数的符号这样的孕伏阶段逐渐过渡到图形面积计算公式和一些运算定律的前置性知识，为正式学习字母表示数做好铺垫。由25+（）=18+（）等算术或代数的结构关系式进行呈现与渗透，体现代数知识的结构特征与代数思维的关系性等。如此形成从不同层面的情境、不同层面的知识、不同层面的思维进行前置性渗透，为学生后继“式与方程”的学习奠定基础。

3.多元化的散点式后置拓展

小学数学的“式与方程”实际上是代数学习的一个开端与显性知识模块，后继其他知识点的学习可以此为基础进行拓展。现选取“比与比例”以及六年级上册《解决问题的策略》中的“替换与假设策略”内容对方程知识的隐性延伸做稍微的阐述：第一，方程“等价思想”的拓展应用。具体表现为六年级上册认识比单元《大树多高》中测量大树高度的实践活动就是利用“在同一地点，同时测量不同的竹竿，高度与影长的比值是相等的”这种等价思想列出具有对应性的方程的。第二，方程“假设思想”的拓展应用。具体表现如解决问题策略单元的例2“全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？”教材试图启发学生使用多种具体的假设方法解决问题，这些均属于方程知识的实际应用，单元后面的“鸡兔同笼”问题也有异曲同工之效。如此通过或显性或隐性、不同数学知识模块以及不同知识领域对方程知识进行散点式的拓展、渗透与巩固，有效地强化与提升了“式与方程”与其他知识内容的衔接与融合。

二、教科书中“式与方程”衔接的建议

1.加强“式与方程”单元编排的系统性

“式与方程”模块在苏教版教科书划分为四、五、六三个年级的各一个单元来编排，虽然设置了针对性的衔接点，但时间跨度较长，由于遗忘等会造成衔接的困难，同时也会对形成系统的数学知识产生不利影响。知识系统性的不完整，对学生的灵活运用是具有破坏性的，所以可适当集中设置，如将五、六年级两单元合并为一单元，增强方程体系的系统性。这样安排也能更好地贯彻《数学课程标准（2011版）》中降低的解方程的要求（由之前“理解等式的性质”到现今的“依据等式的性质来解方程”），在人教版的小学数学教科书中此内容就编排在5年级上册的一个单元里。endprint

2.注重“式与方程”内容与学生数学活动经验的衔接

“式与方程”三部分内容的衔接符合知识之间的逻辑关系，强调了数学的现实情境，以及数学与现实的衔接，但在设置与衔接中缺少对学生数学活动经验的关注。《数学课程标准（2011版）》明确要求：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平与已有的知识经验基础上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”因此教科书在前面的引入到后继的复习阶段，可由学生依据自身已有的知识经验自主设计问题，来让其他同学解答，使所学内容与学生的活动经验紧密结合。通过相互间基于数学基本活动经验的讨论与交流，提升彼此的活动经验与解决问题的能力，促进数学学习的个性化，拓展数学的本原性知识，获得更广泛的数学活动经验。

3.增加“式与方程”与相关数学史知识的衔接与提升

苏教版教科书在“式与方程”三个模块中，仅有两册书在“你知道吗？”中提及一点数学史知识，一个是最早有意识地系统使用字母的数学家韦达，另一点是介绍我国古代数学家李治的“天元术”与朱世杰的“四元术”，对相关数学史的渗透与拓展存在不足。如对方程及代数具有重要贡献的笛卡尔的有关观点：“如果我们要解决一个问题，我们首先假定解已经得到了，并且给解的结构中需要的每个量命名——不论是未知量还是已知量。平等对待未知量和已知量。然后，我们必须想方设法建立量和量之间的自然关系，直到我们发现用两种表达式表示同一个量。因为这两个表达式表示同一个量，所以可以建立等式[2]。”这是笛卡尔在1637年出版的《几何学》中最早提出的方程，这一特别的等式的概念未曾提及。由此可见，具有明显文化符号特征的数学史知识需要更多地在编排中给予关注，将相关史实所蕴含的人文内涵传递出来，体现数学作为人类文化子系统的特征[3]。

由于小学数学教科书综合性强，可读性与易读性要求高，在关注整套教科书的编排，关注“数与代数”“图形与几何”等大模块设计的同时，还要进一步关注各个主题之间的有机衔接与融合，注重各主题间的优化与渗透，以充分发挥教科书的功能与价值，增进教科书的有效使用。

参考文献

[1] 义务教育课程标准实验教科书《数学》（四年级下册）[M].南京：江苏教育出版社，2012：106.

[2] （美）理查德·曼凯维奇.数学的故事.冯速译[M].海口：海南出版社，2002：110.