陶华

摘 要： 从特殊入手研究数列的性质，再扩大到一般，有利于培养学生良好的思维习惯，提高分析问题和解决问题的能力.

关键词： 函数与数列 特殊到一般 类比归纳

数列的学习在整个高中数学中比重很大，难度不小，重在培养学生的观察、分析、归纳、猜想、推理能力，以及知识、方法的迁移能力，使学生逐步养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.这所迷宫以等差数列、等比数列为基石，复杂多变，让很多学生都难以捉摸.数列的通项和前项和是问题的关卡，从特殊到一般[1]，运用已有的认知结构，才能打通新问题的转化路径.

1.探求数列通项

数列作为一种特殊的函数，数列的通项公式是相应的函数解析式.研究函数性质主要是抓住函数解析式，所以研究数列性质时经常需要求出数列的通项公式.

案例1：已知数列{a■}中首项a■=a，满足a■=a■+n+1，求数列{a■}的通项.

解法一：（累加法）移项得a■-a■=n+1，有a■-a■=2，a■-a■=3，…，a■-a■=n，变形相加得a■-a■=■-1（n≥2）；当n=1时，也适合左边的等式.所以a■=■+a-1.

解法二：（待定系数法）设a■=x·n■+yn+z，依次求出前四项为a，a+2，a+5，a+9，代入解出x=■，y=■，z=a-1，则a■=■+a-1.代入验证，递推公式成立.

解法一对多个等式进行累加消去，转化为一般项a■与首项a■的关系，进而表示通项公式.解法二是建立在解法一的基础上，通过观察分析通项结果形式，直接设通项公式的类型，由特殊几项求出系数，得到一般项的公式，即通项公式.不妨推广到一般情况.

推广1：已知数列{a■}中首项a■=a，满足a■=a■+kn+p（其中k，p为常数），求数列{a■}的通项.

分析：设a■=A·n■+Bn+C，依次求出前四项为a，a+k+p，a+3k+2p，a+6k+3p，代入解出A=■，B=p-■，C=a-p.代入……