陈朝阳

在高三复习到导数这一章节的时候，有关已知不等式恒成立求参数范围问题是学生感觉到比较困难的一类问题，这个问题是近几年各省份高考的热点和难点问题.针对这一问题，我们备课组通过微型课题的方式，集中研讨，再将其反馈给学生，取得了较好的教学效果.下面对这一问题，以2010年全国新课标卷理科21题的第二小问为背景，从不同角度分析这类问题的思考方向，供同行参考.

题目：设函数f（x）=e■-1-x-ax■.

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

这一道题看似简单，其实是命题经过深思熟虑命制的试题，尤其是第二问，命题者给出的答案非常巧妙并且颇有思辨性，我们先看下命题组给出的解法.

解法一：f′（x）=e■-1-2ax，由于e■≥x+1，f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

（i）若1-2a≥0，即a≤■时，当x≥0时，f′（x）≥0，而f（0）=0，于是，有f（x）≥f（0）=0；

（ii）若a>■时，由于x≠0时，e■>x+1，可得e■>1-x，e■-1>-x，所以，-2ax<2a（e■-1），f′（x）

当x∈（0，ln2a）时，f′（x）<0，而f（0）=0，于是存在x∈（0，ln2a），

使得f（x）■时，f（x）≥0在[0，+∞）不恒成立，

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，■].

这种解法充分利用了第一小问得到的结论，即e■≥x+1，这也是高中导数涉及放缩问题常用的一个重要不等式.这種将已证结论作为条件的方法是高考导数问题中的常用方法.

解法二：f′（x）=e■-1-2ax，令g（x）=f′（x），则g′（x）=e■-2a.由于x≥0时，e■≥i，若a≤■时，g′（x）≥0（等号仅当x=0时成立），

所以，g（x）在[0，+∞）上单调递增，且g（0）=0，

因此，当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，且f（0）=0，

所以，f（x）≥f（0）=0；

若a>■时，由g′（x）=e■-2a=0，得到x=ln2a，

∴x∈（0，ln2a），g′（x）<0；x∈（ln2a，+∞），g′（x）>0.

从而y=f′（x）在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增.

所以，当x∈（0，ln2a）时，有f′（x）

于是，当x∈（0，ln2a）时，有f（x）

综上可知，a的取值范围是（-∞，■].

这种解法是学生最容易想到的解法，也是恒成立问题中最常见的方法.在这种解法中，应强调参数a的临界值的取得技巧.

解法三：参变量分离法

（Ⅱ）（i）若x=0时，f（x）≥0成立时，a是任意实数；