朱红霞，郭 芳，郭福日，韩效宥

（1.河北廊坊师范学院数学与信息科学学院，河北廊坊065000；2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009；3.北方工业大学理学院，北京00041)

具变符号系数的四阶中立型时滞微分方程的振动性

朱红霞1，郭 芳2，郭福日2，韩效宥3

（1.河北廊坊师范学院数学与信息科学学院，河北廊坊065000；2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009；3.北方工业大学理学院，北京00041)

当系数q(t)变号时，研究了四阶中立型时滞微分方程[y (t)+p(t)y(t-τ)](4)+q(t)y(t-τ)=0的振动性,得到该方程振动的一个充分性定理。

时滞;四阶;振动性

常微分方程的振动理论是稳定性理论研究的重要分支,对于具有不变系数和变系数的二阶中立型微分方程的振动性问题已经有很多的研究成果[1-4],但是对于具有变系数的高阶中立型微分方程解的振动性的研究并不多见，本文研究形如

其中：

p(t)∈C([t0,+∞),(0,1)) q(t)∈C([t0,+∞),R)τ,σ为某一正常数。

这一具有变系数的四阶中立型时滞微分方程振动性。并得到了该方程振动的一个充分性定理。该定理推广了四阶微分方程当系数不变号时原有的振动性结论。对于方程(1)的变号系数q(t),若记：

则：q(t)=q+(t)+q-(t)。

定义若微分方程的非平凡解既不最终为正,也不最终为负,则称该方程的非平凡解是振动的。如果微分方程的任意一个非平凡解都是振动的,则称该方程是振动的。

定理：若方程（1）满足下列条件：

（C3） 对于任意N≥t0，存在b＞a≥N,使得对于t∈[a,b]，有q-(t)≡0，且b-a＞σ则方程（1）是振动的。

证明 本定理利用反证法来证。

假设方程（1）是不振动的，不妨假设方程存在一个最终正解y(t)，则存在t1≥t0，当t≥t1时，有y(t)＞0且y(t-τ)＞0,y(t-σ)＞0。

x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)，且x(t)＞y(t)，则方程（1）变形为：

对于方程（2）两边从t1到t四次积分，整理可得：

则有：

且有z′(t)≥0,z(2)(t)≥0,z(3)(t)≥0。

故存在t2≥t1，当t≥t2时，y(t-σ)≤x(t-σ)≤z(t-σ)≤z(t),

对上述不等式两边从t2到t积分四次，整理得：

又由于:

显然存在t3≥t2，当t≥t3时，有-q-(t)y(t-σ)≤e-t,

那 么 方 程（1）可 变 形 为 ：[x(t)-z1(t)](4)=-q+(t)y(t-σ)，

易见 [x(t)-z1(t)](4)小于或等于零但不最终为零。

所 以 ，x(t)-z1(t),[x(t)-z1(t)]′，[x(t)-z1(t)](2)，[x(t)-z1(t)](3)最终单调不变号。

下面证明x(t)-z1(t)最终大于0。

下面证明x(t)-z1(t)最终大于零，分两种情况来证：

（Ⅰ）当t′k≥ak+σ 时

由于k→+∞ 时，t′k→+∞ ，所以存在 N，当k≥N时，有故x(t)-z1(t)最终大于0。

（Ⅱ）当ak≤t′k＜ak+σ 时，

综上所述，存在t4≥t3，当t≥t4时，有x(t)-z1(t)＞0，x(t-σ)-z1(t-σ)＞0。

w(t)=x(t)-z1(t)，则原方程化为：

w(4)(t)=-q+(t)y(t-σ)。

显然当t≥t4时，w(t)＞0，w(4)(t)≤0且最终不为零，所以w′(t)＞0,w(3)(t)＞0，则存在t5≥t4，C1＞0，当t＞t5时，w(t)＞C1。

故，x(t)=β(t)w(t)+w(t)=[1+β(t)]w(t)，则有

对上式整理得：

对上式两边，当t—＞+∞时，

有w(t)—＞-∞，这与w(t)最终为正矛盾。所以方程（1）不存在最终为正的解，同理可证方程（1）也不存在最终为负的解，所以方程（1）是振动的。

[1]王其如.二阶非线性微分方程的振动准则[J].数学学报,2001,44(2):371-376.

[2]李瑞红，王幼斌.二阶变系数中立型时滞微分方程的振动性[J].数学的实践与认识,2009（12）:238-243.

[3]张建国,庄需芹.一类具变号系数的二阶非线性变时滞微分方程的振动性[J].数学的实践与认识,2007(16):184-187.

[4]乔节增，张建国.二阶非线性中立型微分方程的振动性[J].数学的实践与认识,2007,37(6）:167-170.

Oscillation of Fourth Order Neutral Delay Differential Equation with Variable Coefficient

ZHU Hong-xia1，GUO Fang2，GUO Fu-ri2，HAN Xiao-you3

(1.College of Mathematics&Information Science,Langfang Teachers University,Langfang Hebei,065000; 2.College of Mathematics&Computer science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009; 3.College of Science,North China University of Technolofy,Beijing,100041)

This paper studies the oscillation of a kind of fourth-order neutral delay differential equation [y(t)+p(t)y( t-τ)](4)+ q(t)y(t-τ)=0,when the coefficientq(t)is variable,and obtained a sufficient condition for the oscillation of this equation.

delay;fourth order;oscillation

O175.1

A

1674-0874(2014)04-0007-02

2014-02-26

廊坊师范学院校级青年基金项目[LSZQ201002]

朱红霞（1978-），女，河北肃宁人，硕士，讲师，研究方向：微分方程。

〔责任编辑 高海〕