孟波，孟纯青

（1．联科应用研究所，山东 济 南250031；2．山东省济南中学，山东 济 南250001）

0 引言与基本知识介绍

提出一种构建常微分方程数值方法的新思路，按照这种思路，构建一些具体的计算公式．先介绍一阶和二阶偏差分．

对于函数f（x，y）在点（xi，yi）处的的一阶形式如下．

对于二阶偏差分有以下形式．

最后给出两个变量的两种Taylor公式．

1 新方法的基本思想与相关公式的推导

设存在常微分方程初值问题f（x，y）关于y满足Lipschitz条件，即对于y1、y2有｜f（x，y1）－f（x，y2）｜≤L｜y1－y2｜．设步长为h，这时有xi＋1＝xi＋h，xi－1＝xi－h．现在介绍新方法的基本思想．

如果假设yi＋1－yi＝ki，忽略余项，（1）式和（2）式可以写成以下形式：

把（6）～（7）式跟一些传统方法结合起来就得到新方法中的公式，这些公式的形式可参见文献［1－3］．

隐式Euler方法的形式为：

如果把右边的f（xi＋1，yi＋1）按照（6）～（7）式展开后得到

公式（A1）、（A2）就是两种n阶新方法中的公式，其中（A1）是按照（6）式推导出来的，称为新方法中的单差分公式，（A2）式是按照（7）式推导出来的，称为双差分公式．选择具体的偏差分形式可以构建不同的计算公式．下面就是一些具体公式．

如果只考虑到一阶偏差分，对于（A1）式，设0≤r≤1，记：

有计算公式：

对于（A2）式，设0≤r1，r2≤1，记：

有计算公式：

设0＜s＜1，把以上思想用于加权梯形公式得到：

如果只考虑到一阶偏差分，把（8）～（10）式代入得到以下公式：

如果只计算到二阶偏差分，公式（A4）的一种具体形式为：

把以上思想和其他公式相结合，可以得到许多新方法中的公式．

与Adams隐式方法相结合可以得到许多公式，以下仅列出从三阶、四阶Adams隐式方法推导出来的新公式．

如果计算到二……