刘秋瑾

摘 要：现行教材未将同一平面内两直线的重合关系纳入其中，从两直线重合的客观存在，两直线重合引入课本的必要性以及应该注意的问题三个方面进行阐述。

关键词：两直线；位置关系；平行；相交；重合

在同一平面内，两条直线的位置关系应该有几种？北师大版新教材是这样叙述的：“我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和垂直两种。”对于这种解释，我不敢苟同。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段的课程内容中对相关知识是这样描述的：“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。”这里，并没有将两条直线的位置关系界定为只有相交和平行两种。所以，我认为教材中，应当适当渗透两条直线的重合关系，以给学生一个全面系统的知识体系，理由如下：

一、平面内，两条直线互相重合是客观存在的

1.根据射线重合说明平面内两条直线互相重合的客观存在

众所周知，角是由有公共端点的两条射线组成的图形，周角的两条边相互重合。射线是直线的一部分，射线能重合，直线同样也可以重合。

2.根据线段的重合说明平面内两直线互相重合的客观存在

《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于等腰三角形的性质有这样的表述：“探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角的平分线重合。”既然作为直线一部分的线段可以互相重合，那么，两条直线相互重合也必定是客观存在的事实。

3.根据运动的观点说明平面内两条直线相互重合的客观存在

如右图所示，直线a∥b，直线a沿着与它本身垂直的方向平移至直线a′的位置。在此过程中，直线a与直线b必有相互重合的现象出现。

二、不引入两直线重合，学生就很难理解现有的一些知识

例1.新北师大版数学课本七年级下册关于轴对称图形这样定义：“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。”直线两旁的部分能够完全重合，当然包括相对应的线段（射线或直线），如果不引入两直线重合，学生就会误认为折叠后互相重合的两部分分属于不同的平面，这种理解显然是错误的。

例2.新北师大版数学课本七年级下册关于全等图形和全等三角形这样定义：“能够完全重合的两个图形称为全等图形”“能够完全重合的两个三角形称为全等三角形”。“如下图所示，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等三角形，其中，顶点A，D重合，它们是对应点；AB边与DE边重合，它们是对应边；∠A与∠D重合，它们是对应角。”在不提两直线重合的情况下，学生对这一部分知识就难以理解，直接影响其今后有关三角形全等证明的学习。

例3.在学习二元一次方程组与一次函数的关系时，方程组有一组解时，两直线相交；方程组无解时，两直线平行。如果不引入两直线重合，对于方程组有无数组解时，两直线的位置关系就很难给学生说清楚。

三、引入两直线重合需要解决的问题

1.如何定义两直线重合

我认为，要与两直线平行和两直线相交的定义相统一，分清各自的外延即可。我将两直线的位置关系这样定义：在同一平面内，两条直线没有公共点，叫做两直线平行；两条直线只有一个公共点，叫做两直线相交；两条直线有无数个公共点，叫做两条直线重合。

2.新的定义虽然与现有的知识体系中的一些知识没有太大冲突

比如，“两直线相交，有且只有一个公共点”等还成立。但是也涉及了一些知识需要修改，比如，原有平行线的定义“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”就需要修改。再比如，根据新的两直线位置关系的定义，“在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种”就应该改为“在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和重合三种”等。

3.为了最大限度地减少对现有知识的修改，消除学生的理解误区，引入两直线重合这一知识点后，还应该按照惯例进行技术处理

要向学生说明：在没有特别说明的情况下，互相重合的直线视作一条直线。这样一来，如：“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线”等知识就不必修改了，同时学生理解也会容易得多。

当然，上述观点只是我个人的粗浅认识，不足之处还请各位专家与同行指正。endprint

摘 要：现行教材未将同一平面内两直线的重合关系纳入其中，从两直线重合的客观存在，两直线重合引入课本的必要性以及应该注意的问题三个方面进行阐述。

关键词：两直线；位置关系；平行；相交；重合

在同一平面内，两条直线的位置关系应该有几种？北师大版新教材是这样叙述的：“我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和垂直两种。”对于这种解释，我不敢苟同。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段的课程内容中对相关知识是这样描述的：“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。”这里，并没有将两条直线的位置关系界定为只有相交和平行两种。所以，我认为教材中，应当适当渗透两条直线的重合关系，以给学生一个全面系统的知识体系，理由如下：

一、平面内，两条直线互相重合是客观存在的

1.根据射线重合说明平面内两条直线互相重合的客观存在

众所周知，角是由有公共端点的两条射线组成的图形，周角的两条边相互重合。射线是直线的一部分，射线能重合，直线同样也可以重合。

2.根据线段的重合说明平面内两直线互相重合的客观存在

《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于等腰三角形的性质有这样的表述：“探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角的平分线重合。”既然作为直线一部分的线段可以互相重合，那么，两条直线相互重合也必定是客观存在的事实。

3.根据运动的观点说明平面内两条直线相互重合的客观存在

如右图所示，直线a∥b，直线a沿着与它本身垂直的方向平移至直线a′的位置。在此过程中，直线a与直线b必有相互重合的现象出现。

二、不引入两直线重合，学生就很难理解现有的一些知识

例1.新北师大版数学课本七年级下册关于轴对称图形这样定义：“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。”直线两旁的部分能够完全重合，当然包括相对应的线段（射线或直线），如果不引入两直线重合，学生就会误认为折叠后互相重合的两部分分属于不同的平面，这种理解显然是错误的。

例2.新北师大版数学课本七年级下册关于全等图形和全等三角形这样定义：“能够完全重合的两个图形称为全等图形”“能够完全重合的两个三角形称为全等三角形”。“如下图所示，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等三角形，其中，顶点A，D重合，它们是对应点；AB边与DE边重合，它们是对应边；∠A与∠D重合，它们是对应角。”在不提两直线重合的情况下，学生对这一部分知识就难以理解，直接影响其今后有关三角形全等证明的学习。

例3.在学习二元一次方程组与一次函数的关系时，方程组有一组解时，两直线相交；方程组无解时，两直线平行。如果不引入两直线重合，对于方程组有无数组解时，两直线的位置关系就很难给学生说清楚。

三、引入两直线重合需要解决的问题

1.如何定义两直线重合

我认为，要与两直线平行和两直线相交的定义相统一，分清各自的外延即可。我将两直线的位置关系这样定义：在同一平面内，两条直线没有公共点，叫做两直线平行；两条直线只有一个公共点，叫做两直线相交；两条直线有无数个公共点，叫做两条直线重合。

2.新的定义虽然与现有的知识体系中的一些知识没有太大冲突

比如，“两直线相交，有且只有一个公共点”等还成立。但是也涉及了一些知识需要修改，比如，原有平行线的定义“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”就需要修改。再比如，根据新的两直线位置关系的定义，“在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种”就应该改为“在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和重合三种”等。

3.为了最大限度地减少对现有知识的修改，消除学生的理解误区，引入两直线重合这一知识点后，还应该按照惯例进行技术处理

要向学生说明：在没有特别说明的情况下，互相重合的直线视作一条直线。这样一来，如：“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线”等知识就不必修改了，同时学生理解也会容易得多。

当然，上述观点只是我个人的粗浅认识，不足之处还请各位专家与同行指正。endprint

摘 要：现行教材未将同一平面内两直线的重合关系纳入其中，从两直线重合的客观存在，两直线重合引入课本的必要性以及应该注意的问题三个方面进行阐述。

关键词：两直线；位置关系；平行；相交；重合

在同一平面内，两条直线的位置关系应该有几种？北师大版新教材是这样叙述的：“我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和垂直两种。”对于这种解释，我不敢苟同。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段的课程内容中对相关知识是这样描述的：“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。”这里，并没有将两条直线的位置关系界定为只有相交和平行两种。所以，我认为教材中，应当适当渗透两条直线的重合关系，以给学生一个全面系统的知识体系，理由如下：

一、平面内，两条直线互相重合是客观存在的

1.根据射线重合说明平面内两条直线互相重合的客观存在

众所周知，角是由有公共端点的两条射线组成的图形，周角的两条边相互重合。射线是直线的一部分，射线能重合，直线同样也可以重合。

2.根据线段的重合说明平面内两直线互相重合的客观存在

《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于等腰三角形的性质有这样的表述：“探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角的平分线重合。”既然作为直线一部分的线段可以互相重合，那么，两条直线相互重合也必定是客观存在的事实。

3.根据运动的观点说明平面内两条直线相互重合的客观存在

如右图所示，直线a∥b，直线a沿着与它本身垂直的方向平移至直线a′的位置。在此过程中，直线a与直线b必有相互重合的现象出现。

二、不引入两直线重合，学生就很难理解现有的一些知识

例1.新北师大版数学课本七年级下册关于轴对称图形这样定义：“如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。”直线两旁的部分能够完全重合，当然包括相对应的线段（射线或直线），如果不引入两直线重合，学生就会误认为折叠后互相重合的两部分分属于不同的平面，这种理解显然是错误的。

例2.新北师大版数学课本七年级下册关于全等图形和全等三角形这样定义：“能够完全重合的两个图形称为全等图形”“能够完全重合的两个三角形称为全等三角形”。“如下图所示，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等三角形，其中，顶点A，D重合，它们是对应点；AB边与DE边重合，它们是对应边；∠A与∠D重合，它们是对应角。”在不提两直线重合的情况下，学生对这一部分知识就难以理解，直接影响其今后有关三角形全等证明的学习。

例3.在学习二元一次方程组与一次函数的关系时，方程组有一组解时，两直线相交；方程组无解时，两直线平行。如果不引入两直线重合，对于方程组有无数组解时，两直线的位置关系就很难给学生说清楚。

三、引入两直线重合需要解决的问题

1.如何定义两直线重合

我认为，要与两直线平行和两直线相交的定义相统一，分清各自的外延即可。我将两直线的位置关系这样定义：在同一平面内，两条直线没有公共点，叫做两直线平行；两条直线只有一个公共点，叫做两直线相交；两条直线有无数个公共点，叫做两条直线重合。

2.新的定义虽然与现有的知识体系中的一些知识没有太大冲突

比如，“两直线相交，有且只有一个公共点”等还成立。但是也涉及了一些知识需要修改，比如，原有平行线的定义“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”就需要修改。再比如，根据新的两直线位置关系的定义，“在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种”就应该改为“在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和重合三种”等。

3.为了最大限度地减少对现有知识的修改，消除学生的理解误区，引入两直线重合这一知识点后，还应该按照惯例进行技术处理

要向学生说明：在没有特别说明的情况下，互相重合的直线视作一条直线。这样一来，如：“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线”等知识就不必修改了，同时学生理解也会容易得多。

当然，上述观点只是我个人的粗浅认识，不足之处还请各位专家与同行指正。endprint