王树东

【摘要】针对地图中水系、道路、境界线等要素的制图综合问题，利用小波分析的多分辨率分析原理，提出了曲线综合的数学模型，并对线状要素进行综合和平滑，实现了对曲线的制图综合。 【关键词】 曲线综合；多分辨率分析；多尺度表达；数学模型

制图综合的目的就是在有限的图面上尽可能多的反映相对重要的物体，即模型综合和图形综合。制图综合是随比例尺变小而进行的信息简化，为了使空间信息保持清晰和简洁，更能反映对象空间信息的整体特征，产生了各种处理方法。它是为了防止由于比例尺变化造成的表达空间的不足、数据的混乱和堆积。通常是通过对空间目标进行删除、变形以及重采样来达到对空间信息的减少，在信息减少的过程中带来了许多问题，如符号化问题、变形、移位等。小波的基本思想是根据不同尺度来分析信号，随着小波分析在数学上的发展和完善，因其具有函数逼近功能、多尺度特性、快速算法等性质，故在图形图像领域得到广泛的应用。在GIS图形数据多比例尺表达研究方面，多分辨率分析与制图综合具有天然的联系，在线状要素综合方面已取得了不少成果。可以认为，曲线综合过程就是不断地逼近信号的长周期发展趋势，在地图数据库中存储的数据一般都是特征点，这些特征点实际上都是间断点、尖锐变化点。因此对于这些点不能简单地对它平滑，不仅要在一定程度上保留它的奇异性，并且要决定这个奇异点在不同比例尺的地形图上是不是需要保留，同时希望建立一种数学模型能够解决曲线多值性问题，综合后的数据应具有一定光滑性、良好的精度和视觉效果。本文利用多分辨率分析小波原理，建立线状要素综合模型，并对对线状要素进行综合实验，以及对数学模型进行分析。

1小波分析与线状要素关系

小波分析的成果是显著的，前人的研究明确地指出了小波的多分辨率分析与制图综合的关系，并且建立了基于多分辨率分析的自动综合模型，给出了曲线综合模型的运行图框。在模型拓展中，谈到了这种模型仅能适用单值函数 的情况，但是GIS图形往往是各向波动的闭合曲线，在小波分析的特点中，引人注目的有两个。多分辨率分析[10][11]和数据长周期发展信息的提取[12]。使用最多的是二进小波。所以建立如下的基于二进小波的线状要素多分辨率模型：把细节程度最少的线状要素用 表示，就是曲线两个端点的连线，由两个点组成（如果曲线闭合，可以把它分成2个曲线）。建立不同尺度下的线状要素 ， 由 个离散点点逼近原曲线。这样，就把线状要素的综合过程和Mallat的多分辨率分析建立了联系。当然这个尺度和Mallat的尺度是不同的，Mallat的尺度是双无限的空间，线状要素是单无限的，最小值为0，随着尺度m越来越大，线状要素的细节信息越来越多。综合就是已知 ，求取 ，（ ）的过程。为了连续的表达不同分辨率的线状要素，弥补二进制分辨率的等级限制，允许有小数尺度 。小波分析能够监测数据长周期发展，小波分析能够提取淹没在强噪声中的长周期信息，并且这种长周期信息一般隐藏在多级分解的细部信息里面。趋势是信号中最慢变化的部分。在小波分析中，这就反映为更高尺度。随着尺度的增加，分辨率减少，产生更好的，对未知趋势的估计。另一种认为这是一个频率问题。连续的接近使越来越多的高频信息丢失了，同时剩下的就是信号的趋势。一个成功的例子是湮没在噪声中的信号趋势的提取。值得提醒的是，趋势是信号中最缓慢的变化的部分，但是如果信号本身有尖锐的变化，这种逼近就离原是信号越来越远了。

2 数学模型的建立与模型特点

2.1 模型的建立

使用离散小波处理信号，被处理函数应该是单值而且是规则化的，显然在计算机存储的曲线是一个多值且不规则的，这就需要建立新的模型，使曲线数据符合离散小波的要求。

从小波的特点出发将空间 看成是某地理空间， 看成是该空间的各种信息，那么， 则可看成 在不同分辨率下的地理空间模型[2]。曲线可以表达为 ，显然这个函数是一个多值函数。在小波分析中，是不能出现多值函数的，需要对多值函数进行单值化。

首先沿曲线长度对曲线离散化。设离散化后的点有 个，就是曲线尺度 ，要满足点之间的曲线长度一致。然后把曲线用微分表达：

，

就变为了 。再把曲线 用极坐标表示，设：

， （1）

显然，是沿曲线等长采样 。 = ，这样函数就被单值化了，这也是一个曲线插值的过程，只要 值取得足够小，就能保证曲线的采样精度。

曲线处理前后的长度和角度变化规律如图2，有一个 的细部信息，在不同的尺度下，这个小的三角形被逐渐压抑，直到被消除。在某2个的尺度 （j>i）的角度 为， = 。可以看作 是 ， 在上面的投影角度，

（2）

这样看来 就是要求的长度。但是在实际使用中，不能準确地给出 ，就没有 ，也就不能简单的利用上面的公式。可以利用下面这两种方法解决：（1）.直接使用 ；（2）.建立 于 的函数模型，很明显 变化小， 的变化就不会很大。

为了得到更好的效果，本文做了以下的改进：

⑴.关于阈值函数的选取。使用了半软阈值。阈值函数体现出了对超过和低于阈值的小波系数模型的不同处理策略以及不同估计方法。设ω是原始小波系数，η（ω）表示阈值化后的系数，T是阈值，

I（x）=1，x是真；I（x）=0，x是假。

硬阈值方法可以很好的保留信号边缘等局部特征，但信号会出现振铃，伪吉布斯效应等，而软阈值处理相对要平滑，但可能造成边缘模糊等失真现象。可以兼顾软阈值和硬阈值方法的优点，克服了上述缺陷，采用如下表达式：

其中 。 （3）

令 ，就需要找到 。

⑵.阈值的估计。李氏指数和小波系数极大值之间的关系：若小波是实函数且连续可微，并具有n阶消失矩（ ）， ，则函数 在 处具有Lipschitz指数α，当存在常数K，使得 ，且小波变换满足：

（4）

设 是函数 局部突变点（奇异点），则在该点处 的小波分析取得极大值。在第j级分解中找到其中的最大绝对值系数 ，设 ，需要为每一级分解设计一个 ，把它叫做相对阈值。然后利用（3），就完成了对角度信息的处理，其具有自适应的成分。

2.2 模型特点：

⑴.角度是有周期性的，周期为2 的。当 由略小于2 变化到略大于0，如果角度 仅使用[0 ，2 ]这个区间的值，这就理解为了一个大的奇异点，实际上这个点并不是。如果 中相邻两个点 = - > ，则利用 的周期性，让 改变2n ，满足 < 。

⑵.因为小波变换处理前后点的数量没有改变，所以各个级别的曲线长度没有改变，实际上，随着曲线细节信息的丢失，曲线长度也逐渐递减。因此在对角度信息处理之后，必须对曲线的长度进行处理。即把整个综合过程分为了两步，首先对角度处理，再对长度处理，且长度的变化能不能很好的确定是模型能不能使用的关键。

⑶.误差积累。由于综合的过程是对角度信息的处理。角度信息改变后，逐点的计算 ，再计算x、y。显然x、y的计算结果受到前面点的影响，前面如果出现误差并且这些误差的方向不是随机的，这些误差会积累，最终影响曲线的重构精度。

3 结论

在实验中，我把这段曲线共分解11，在各个级别中，有小的信息被删除了，经过仔细观察，很明显的看到不少细节信息没有了，曲线变得很光滑，两条曲线结合的很好，在曲线中小的弯曲的确是被删除了，综合的效果很好；如果删除更多级别的信息，曲线变形很大，和制图综合的理论也是吻合的；模型对数据的压缩能力，当使用小波压缩时，下一级的细部信息仅使用了上一级一般的记录点。计算小波重构中使用数据的数量，相对于原曲线还是有一定的压缩力。也可以把经典的曲线压缩的方法作用于这两个级别的曲线，能获得更好的压缩比和综合效果；更多的分级曲线，可以通过使用不同的相对阈值系数来获取。

结合小波分析和长周期信号的提取与线状要素数据建立起联系。从微分弧段的角度重新看待了原始数据，使用小波的方法进行曲线综合。小波分析把线状要素的不同长度、不同曲率的弯曲分解到了不同等级的小波系数里面，且满足李氏指数的规律。使用小波系数的阈值压抑技术，压抑绝对值较小的小波系数，实现了压抑线状要素的弯曲效果，解决了综合中曲线问题，并且能够根据人们的需要，使用不同的阈值，能够生产出不同复杂程度的曲线，还保持了原始地图的特点。

参考文献

1、吴艳兰；地貌三维综合的地图代数模型和方法研究[D]；武汉大学；2004年。

2、毋河海；基于擴展分形的地图信息自动综合研究[J]；地理科学进展；2001年S1期