杨映全

一、教材分析

从近年来高考试题中分析得知，考查数列的比重越来越大，其价值越来越得到重视。尤其是相关数列的题型不仅能够锻炼学生的探究能力，培养学生严谨的思维能力，而且对学生分析能力、归纳能力的培养也起着不可替代的作用。同时，等差数列的前n项和也是上节课等差数列的后继内容。本节课的主要内容是：等差数列前n项和公式的推导及运用。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）掌握等差数列前n项和的公式以及推导过程；

（2）会用等差数列的前n项和解决相关的一些问题。

2.能力目标：

通过让学生自主推导前n项和公式来锻炼学生的自主学习能力

通过相关问题情境的创设来培养学生的独立思考能力和探究能力。

3.过程与方法：

自主探究模式、数学思想的渗透。

三、教学重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的推导。

难点：等差数列前n项和公式的灵活运用。

四、学生分析

“以学生为中心”的教学思想是新课程改革下的基本教学理念，也是学生健全发展的保障。所以，对于高中阶段的学生来说，他们已经具备了自主学习的能力，而且多年的学习也促使学生有了特有的学习方法，因此，我们可以借助自主探究式教学模式来给学生搭建自主学习的平台，进而为学生获得更大的发展空间打下坚实的基础。

五、教学过程

导入环节：回顾等差数列的通项公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果将某个等差数列各个项相加，会得到怎样的结果？

（设计意图：一是让学生回顾和复习上节课的内容；二是提出问题，调动学生的求知欲，使学生带着问题走进课堂。）

情境创设：德国伟大数学家高斯在九岁那年，用很短的时间完成了教师布置的一道数学题：对自然数从1到100的数进行求和。老师非常惊讶高斯为什么能在这么短的时间里计算出对这个年龄来说相当困难、相当耗费时间的题目。思考：高斯用了什么方法？

（设计意图：创设该环境只是为了要将本节课的正题引出，因为对于这样的题，学生很容易回答出答案为5050；对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我们通常所说的首尾相加。）

接着，让学生简述解题过程。接着，引导学生思考：如果这道试题改为“对自然数从1到n的数进行求和？”会得到怎样的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n

学生1：延续高斯的首尾相加。

第一项和倒数第一项相加：1+n

第二项和倒数第二项相加：2+（n-1）=n+1

第三项和倒数第三项相加：3+（n-2）=n+1

……

第n项和倒数第n项相加：n+[n-（n-1）]=n+1

于是所有的前n项和为■

学生2：借助等差数列的通项公式。

设y=1+2+3+4+…+n

观察可以看出，该式子各项之间是等差为1的等差数列。

即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）

y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）

将（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y

（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y

y=■

所以，1+2+3+…+n=■

……

（设计意图：引导学生发挥自己的主观能动性，积极动手、动脑寻找解答的过程，这样一来不仅能够加深学生对相关知识的印象，提高学生的理解能力，而且对学生综合能力的提高也起着非常重要的作用。同时，该环节的设计是等差数列前n项和公式推导出来的前提。）

在学生给出不同的解答过程之后，我接着引导学生思考：如果对于一个等差数列，第一项未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推导出该等差数列的前n项和公式。（学生思考，并在上述解答的思路中给予证明。）

证明：先求出等差数列的通项：an=a■+（n-1）d

设前n项和为Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]

=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d

=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]

=na■+■d

当然方法不止这一种，在此不再进行详细的介绍。总之，在对学生的解题过程给予肯定之后，我明确了等差数列前n项和公式，并板书该公式，而且导入环节的问题也随之得到了解决。

（设计意图：该过程的设计就是为了让学生自主动手推导出等差数列的求和公式，这样不仅能够加深学生的印象，而且对提高学生数学知识的应用能力也起着非常重要的作用。）

思考问题：（1）在等差数列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，则S13等于  ；  ；。

（2）设等差数列{a■}的前n项和为S■，若a■=S■=12，则{a■}的通项a■=  ；  ；。

（3）已知等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求前3m项和为多少？

（4）设等差数列an的前n项和为S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？

……

（设计意图：这几道试题从难度上来说，由简至难，既符合学生的认知规律，而且对学生知识应用能力的培养也起着非常重要的作用。）

六、教学反思

在本节课的设计中，我首先引导学生回顾了上节课的知识，既要起到复习的作用，又要为本节课的顺利开展打好基础。之后，借助学生熟悉的情境将学生引入本节课的学习当中。在整个过程中，我一直坚持“以学生的发展为中心”“学生是课堂主体”的思想，借助自主探究模式，给学生搭建自主展示、自主思考的平台，进而让学生在自主学习、自主探究的过程中掌握本节课的重难点内容，同时，为了能够最大限度地发挥学生的主动性，激发学生的学习热情。当然，也为了加深学生的印象，使学生体验自主学习带来的成功喜悦，我还设计了相关的问题，以促使高效课堂的顺利实现。

编辑 李建军