孙丽娜

一、教学过程实录

1.创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验

世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？（多媒体展示三角形图案）

也就是计算1+2+3+…+100=？

提问：有没有同学了解这个题的解题过程？简便方法？

学生会联想到以前接触过的高斯求和法.

介绍高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”.二百多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1+2+3+…+100=？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

设计说明 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”相联系.从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，提高解决问题的积极性.

2.层层铺垫，在自主探究与合作中学习

问题：1+2+3+…+100=？（高斯算法）

实质：首尾相加法，成对出现，每对和为101，组成50对.将和变为积来求.

设计说明 高斯的这一首尾配对算法学生虽然是熟悉的，但是他们对此的认知只是处于非常简单的记忆，并不能说是理解.为了让学生对此算法有更深的認识，也为了更好地推出后面的等差数列求和公式，设计了以下几个问题探究：

探究1：在宝石图案中，第1层到第21层共用了多少颗宝石？即1+2+3+…+21=？

用同样方法相加的时候学生会发现，首尾配对后最中间一个会多出来，即：（1+2+…+10+12+…+20+21）+11.（对学生的分析归纳给予表扬）

发现：若项数是奇数时和项数是偶数时不同，采用这一方法求和就得分开讨论.

提问：是不是求和时得根据项数是奇数还是偶数进行分类讨论呢？

学生可能会赞成这一说法.教师并不全盘否定，但可以指出每次这样分类会有点烦琐，此时应适当地引导学生探索更为简捷的求解方法.

设计说明 求和时不可能每次都通过讨论项数是奇数还是项数是偶数来进行求解.教师指出还可以将解法简洁化，激发学生探索的兴趣，让学生自己积极参与到解决问题中来.

引导学生回忆小学探求三角形面积是通过先补后分的方法，再用多媒体显示探索路径：补一个倒置的三角形，形成平行四边形，使得上下每行的个数刚好相等.

学生观察得出答案：

S21=21×1+212.

设计说明 用直观的图形启发学生，开拓思路，化繁为简.

帮助学生更好地理解这一简便算法.此过程渗透了数形结合的数学思想，将问题直观化.鼓励学生在以后的学习

中也可以结合这一较为直观的数学思想解题.

多补一个同样的图形，借用两倍来考虑问题，省去了对奇偶项数进行分类.

将几何图形转化为数学式子：

S21=1+2+…+11+…+20+21

S21=21+20+…+11+…+2+12S21=21×1+21S21=21×1+212.

设计说明 补一个同样的式子，颠倒相加.由加法转化为乘法求解，省去了讨论奇偶项数的麻烦.这个方法记为“倒序相加法”.

探究2：n个自然数求和： 1+2+3+…+n=？（学生分组讨论，学生代表发言）

Sn=1+2 +3+…+n-1+n.

Sn=n+n-1+n-2+…+2+1 2Sn=n1+nS21=n1+n2.

也就是说n个自然数求和直接可以利用这种倒序相加法求得，不管n为奇数还是偶数.

设计说明 这里的n个自然数是学生最为熟悉的等差数列，不管n是奇数还是偶数，过程采用的是一样的方法，旨在让学生体验倒序相加求和这个算法的合理性，从心理上完成对首尾配对求和算法的改进.此研究过程也由特殊过渡到了一般，为等差数列前n项求和做了铺垫，培养了学生观察分析、类比推理的能力.

那么一般的等差数列如何求和呢？能用相同的方法吗？条件满足吗？

探究3：已知等差数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，如何求前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an ？

Sn=a1+a2+a3+…+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a1

Sn=a1+（a1+d）+…+a1+（n-1）d

Sn=an+（an-d）+…+an-（n-1）d

2Sn=n（a1+an）Sn=n（a1+an）2.

通过对等差数列基本概念及性质的认识，从它的基本元素出发，结合“倒序相加法”对求和公式进行了推导.（等差数列的后一项比前一项多一个公差，前一项比后一项少一个公差）

设计说明 推导过程采用了层层递进，由学生最容易接受的21个自然数到n个自然数，再推广到一般的等差数列前n项求和，从特殊过渡到一般，利用“倒序相加法”顺利完成公式的推导，将课堂的难点巧妙地加以突破.不仅培养了学生观察分析、类比推理的能力，也培养了主动探索、勇于发现的精神.

3.归纳整理，公式应用

等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an，由上述推导得出公式：

Sn=n（a1+an）2公式1

结合通项公式：an=a1+n-1·d，代入公式1，得：

Sn=na1+n（n-1）2d公式2

注：d可以为0，此时 Sn=na1.

设计说明 整个推导过程都是在教师的引导下，由学生主动完成的，加深了对公式的理解，也提高了学生学习数学的兴趣，体验成就感，增加学习的信心.两个求和公式涉及了a1，an，d，n，Sn五个量，都是等差数列中的基本元素.

结合两个求和公式，给出相应例题加以应用.

例1 在等差數列{an}中，（1）已知a1=3，a21=55，求S21;（2）已知a1=6，d=-12，求S20.

设计说明 第一小题从首项、尾项、项数出发可以利用公式1求解，第二小题从首项、公差、项数出发可以利用公式2求解，让学生自己选择不同公式求解.通过比较，引导学生在解题时根据题目条件选择适当的公式加以求解.

例2 求正奇数数列1，3，5，7，…前100项和.

设计说明 本题可用公式2直接求解，也可结合通项公式根据公式1求解，让学生体会哪个公式更为便捷.

变式： 等差数列 -13，-9，-5，-1，3，…的前多少项和等于50 ？

设计说明 本题适当加深了难度，需要变用公式.由数列的前四项可知首项、公差，且题中告知和为50，让我们求的是项数，引导学生可以借用公式2求解项数.

例3 在等差数列{an}中，已知d=12，an=32，Sn=-152，求a1及n.

设计说明 本题已知三个量求另外两个未知量，可以选择求和公式1结合等差数列的通项公式列出关于a1及n的两个方程求解.两个求和公式中都包括四个元素，利用其中任意三个元素必可求出另外一个，即：知三求一.其实两个求和公式共涉及了a1，an，d，n，Sn五个量，我们可以通过任意三个求解另外两个，即：知三求二.

4.梳理知识，自我小结

找几名学生来谈谈通过本节课的学习，学到了什么？体验到什么？掌握了什么？最后教师加以归纳肯定：

（1）回顾从特殊到一般的推导方法，采用“倒序相加法”.

（2）等差数列的两个求和公式：①Sn=n（a1+an）2;

②Sn=na1+n（n-1）2d.

（3）会根据条件选用适当的公式求解.

二、教学反思

收获：教师有意识、有目的地开发、整合和使用课程资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量.本节课改进了教材上直接推导等差数列前n项和公式的做法，而是通过设计由简单到复杂、从特殊到一般的几个问题帮助学生自己探究出等差数列的前n项和的公式，学生在经历的过程中加深了对公式的理解和巩固，取得了良好的教学效果.

思考：如何处理好“预设”与“生成”的关系？

教学方案是教师对教学过程的“预设”，实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动.在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源 ，特别是在数学探究教学中，更需要教师及时把握，因势利导，适时调控.

例如，本节课在讲到第一个问题探究1+2+3+…+21时，学生并不是都像教师预设的那样出现一种方法，即原式=（1+2+…+10+12+…+20+21）+11，而是出现了其他方法，方法1：原式=（1+2+3+…+20）+21;方法2：原式=0+1+2+…+20+21.

以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师不得不叹服学生思维的伟大，感叹自己预设的不足，对于学生的这种思考，教师应进行充分肯定与表扬.

感悟：有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，学生是数学学习的主体，数学课堂教学应以促进学生的发展为宗旨！