●范东晖 (北仑中学 浙江宁波 315800)

含参数的不等式恒成立问题

●范东晖 (北仑中学 浙江宁波 315800)

1 考点回顾

含参数的不等式恒成立问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性.解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征恰当地构造函数，从而转化为含参数的函数最值讨论.

含参数的不等式恒成立问题，常见的是函数中的不等式恒成立问题，另外还有数列中的不等式恒成立问题.涉及题型一般有2类：一是已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，建立参数所满足的不等关系，利用函数的最值或值域解决;二是证明不等式恒成立，在函数中一般选择以算代证，即通过求函数的最值证明不等式.在数列中，很多时候可以与放缩法结合起来，对所证不等式的一侧进行适当放大或缩小.

2 典例剖析

例1已知2个函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中 k∈R.

(1)若对任意的x∈［-3，3］，都有 f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围;

(2)若对任意的 x1，x2∈［-3，3］，都有 f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.

分析(1)令

问题转化为 F(x)≥0在 x∈［-3，3］时恒成立，故解F(x)min≥0即可.求导得

由 F'(x)=0，得

由k-45≥0，解得 k≥45.故实数 k的取值范围是［45，+∞).

(2)由题意可知当 x∈［-3，3］时，有

因此实数k的取值范围是［141，+∞).

评注将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，一般有下面2种类型：

(1)若所给函数……