●王红权 (杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

函数中的“二域、四性”

●王红权 (杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

1 考点回顾

本文中函数的“二域”是指函数的定义域和值域;“四性”是指奇偶性、单调性、周期性、对称性.函数中的“二域、四性”是历年高考函数部分命题的热点之一，内容涉及全卷，素有“得‘二域、四性’得函数”之说.单独以此立意的试题往往小巧灵活、新颖别致，解答好这类问题需要考生对数学有透彻的理解，熟练掌握一定的技巧.近几年在全国各省市的高考试卷中普遍出现，本文给出该类试题的一些解法，旨在抛砖引玉.

2 易错点拨

(1)若f［g(x)］的定义域为A，则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.

反例设函数 f(x)=x，函数 g(x)=x2，则复合函数f［g(x)］=x2.

理由 显然函数f［g(x)］=x2的定义域为R，而函数g(x)=x2的值域为［0，+∞).一般地，设函数 g(x)的值域为 B，则 B⊆A.

图1

(2)若函数f(x)=x2-2x-4的定义域与值域都是M，则M=［4，+∞).

答案错误.

理由对于函数y=x，其定义域和值域永远是相等的，从图1不难看出下列集合均满足条件：M=［4，+∞)或(4，+∞)或{-1}∪(4，+∞)或{-1}∪［4，+∞)或M=［-5，+∞).

(3)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.

答案错误.

理由函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)表明函数y=f(x)是周期函数，且周期为2a;若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)才表明直线x=a是其对称轴.

(4)若函数f(x)与g(x)都是R上的单调递增函数，则f(x)·g(x)是R上的单调递增函数.

答案错误.

反例设 f(x)=x，g(x)=-x，则 f(x)·g(x)=-x2在R上不单调(还可以考虑函数f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，的单调性).

3 典例剖析

3.1 研究新函数从“两域、四性”开始

研究任何一个未知函数，一般的方法就是结合图像从研究函数的“两域、四性”开始.三角函数的“两域、四性”都比较简单，但复合后则变……