赵华新, 赵 拓, 徐 敏

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

Banach空间上的线性算子理论是处理无穷维空间柯西问题的重要工具,它在抽象分析及应用数学的各个方面都有着重要的作用.文献[1]给出了N参数的定义;文献[2]给出了双参数算子半群的定义;文献[3]给出了C0半群的两个指数公式;文献[4]证明了对于一致连续的双参数C0半群{T(s,t)}s,t≥0,必定存在有界线性算子A1,A2,使得T(s,t)=esA1etA2;文献[5]在C0半群指数公式的基础上,证明了双参数C0半群满足

文献[6]给出了广义C半群的指数公式及逼近;文献[7]用逼近的方法得出一定条件下积分C半群与C半群的关系.本文在此基础上研究了C半群的指数公式,并将其推广到了双参数C半群上.

本文中X为Banach空间,所有算子都是线性算子,B(X)表示X上的有界线性算子全体,C∈B(X)为一对一算子.

1 基本概念与引理

定义1[8]设C为B(X)上的一对一的算子,若双参数算子族{T(s,t)}s,t≥0⊆B(X)满足:

1)T(0,0)=C;

2)T(s1,t1)T(s2,t2)=CT((s1,t1)+(s2,t2)),s1,t1,s2,t2≥0;

则称{T(s,t)}s,t≥0为双参数强连续C半群,简称双参数C半群.

定义2[8]双参数C半群{T(s,t)}s,t≥0的无穷小生成元是线性变换φ:R+×R+→L(X),其定义为

其中A1,A2分别是单参数C半群{T(s,0)}s≥0和{T(0,t)}t≥0的无穷小生成元,即

定义3[9]若算子A为C半群{T(t)}t≥0的无穷小生成元,且{T(t)}t≥0∈G(M,ω),则定义A在λ处的C预解式可表示为

引理1设A是C半群T(t)的无穷小生成元,且满足

令RC(λ,A)=(λ-A)-1C,则

证设∀x∈D(A),则

2 主要结论

定理1设{T(t)}t≥0是X上的C半群,A是T(t)的无穷小生成元,则

∀x∈X,

且极限关于t在任何有界区间上是一致的.

证设‖T(t)‖≤Meωt,对于任意Reλ>ω,R(λ,A)关于λ是解析的,且

对λ微分n次得

但RC(λ,A)(n)=(-1)nn!RC(λ,A)n+1,因此

给定ε>0,选取0

=I1+I2+I3,

其中

这里利用了ve-v≥0在0≤v≤1上单调非减和在v≥1上非增的事实.因为当v≠1时,ve-vωt,可以得到I3中估计积分收敛,且当n→∞时,‖I3‖→0关于t∈[0,t0]是一致的.因此

因ε>0是任意的,所以

定理2设{T(s,t)}s,t≥0⊆B(X)是双参数C半群,且C2=C,则

证由定义1和定义2得CT(s,t)=T(s,0)T(0,t),其中T(s,0),T(0,t)均为单参数C半群,A1,A2分别为其无穷小生成元,则由引理1得

于是

参考文献:

[1] Hille E,Phillips R S.Functional analysis and semi-groups[M].New York:Amer Math Soc Colloq Publ,1957.

[2] Arora S C,Sharda S.On two-parameter semigroup of operators[M].New Delhi:Univ of Delhi,1990:147-153.

[3] Pazy A.Semi-groups of linear operators and application to partial differential equations[M].New York:Springer Verlag,1983.

[4] Sharif A S,Khalil R.On the generator of two-parameter semi-groups[J].Appl Math Comput,2004,156(2):403

[5] 卢丑丽,宋晓秋,刘春景.双参数C0半群的一些结果[J].黑龙江科技学院学报,2010(2):164.

[6] 刘嫚,宋晓秋,廖大庆.广义C半群的指数公式与逼近[J].徐州师范大学学报:自然科学版,2007,25(3):32.

[7] 王彩侠,宋晓秋,张祥之.积分C半群的一种表示[J].徐州师范大学学报:自然科学版,2005,23(1):24.

[8] 许强.关于双参数C半群的一些结果[J].河南科学,2012,30(11):1564.

[9] 陈文忠.C无穷小生成元表达式[J].厦门大学学报:自然科学版,1993,32(2):135.