王 辉, 胡 滨

(江苏师范大学 数学与统计学院,江苏 徐州 221116)

0 引言

本文中,所有群均是有限群,未交待的概念和符号参见文献[1]和[2].

显然,对于任一非空群系F，所有的正规子群、c正规子群、Fn可补充子群、Fh正规子群、置换子群、s置换子群都是Fs拟正规子群.但反之不成立(参见[11]中例1.2).

本文主要利用Fs拟正规子群,得到了关于Sylow塔群的一些新的判别准则.

1 有关概念和基本结果

设G是一个群,p1>p2>…>pt是G的不同的素因子,如果存在G的Slyowpi子群Pi(i=1,2,…,t),使得P1P2…Pk正规于G,则称G具有Sylow塔性(或称G是一个Sylow塔群).

群类F称为一个群系,如果F是同态像封闭且次直积封闭.群系F称为饱和群系,如果当G/Φ(G)∈F时,总有G∈F.群系F称为S闭的,如果G∈F时,G的每个子群都属于F.众所周知,所有Sylow塔群构成的群类和所有超可解群构成的群类U都是S闭的饱和群系.

引理1[11]设F是一个群类,H≤K≤G.下列结论成立:

4) 如果H在G中Fs拟正规,且F是S闭的,那么H在K中Fs拟正规.

5) 若G∈F,则G的每个子群在G中Fs拟正规.

引理2[13]假设F是包含所有超可解群的饱和群系,群G有一个正规子群E,使得G/E∈F.若E循环,则G∈F.

引理3[14]设G是一个有限群,如果G的子群H在G中s置换,则H/HG是幂零的.

引理4[15]设G是一个群,A≤G.若A次正规于G,且A是可解群,则A包含在G的某个可解正规子群中.

引理5[16]若H在G中s置换,且H是一个p群,对某一素数p,则Op(G)≤NG(H).

2 主要结论

定理1设F是一个具有Sylow塔性的群类.若群G的每个非循环Sylow子群的极大子群在G中Fs拟正规,则G∈F.

证根据[11,定理3.1],G是超可解群,从而G是Sylow塔群.

定理2设F是一个具有Sylow塔性的群类,则群G∈F当且仅当G=AB,其中A在G中s置换,B∈F,且A的每个非循环Sylow子群的极大子群……