初日辉

(南京航空航天大学 理学院,江苏 南京 211100)

0 引言

带五次项的非线性Schrödinger方程是一个重要的数学物理模型,它在诸如非线性光学、等离子物理等方面有着广泛的应用[1]．关于带五次项的非线性Schrödinger方程的数值研究有很多,如有限差分法、有限元法、有限体积法等,其中有限差分法以其简单、实用等优点被广泛使用．最近,关于偏微分方程的高精度紧致差分格式研究是国际上的一个热点[2-3].基于此,本文考虑如下的带五次项的非线性Schrödinger方程:

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u, (x,t)∈(a,b)×(0,1),

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈(a,b),

(2)

u(0,t)=u(1,t)=0,t∈(0,T],

(3)

其中u0(x)为已知的复函数,f(x,t)和u(x,t)分别是实值和复值函数，i为虚数．经过简单的计算可得该问题的电荷和能量满足如下的关系:

(4)

(5)

其中Q(t),E(t)分别称为某时刻的电荷和能量,而Q(0),E(0)则分别称为初始时刻的电荷和能量,(4)式表示的是电荷守恒．

对于本文研究的方程,张鲁明等[4]构造了一个差分格式,并证明方程的收敛阶为O(τ2+h2)．王询等[5]提出一个五点四阶的差分格式．但对于带五次项的非线性Schrödinger方程的紧致差分格式,目前未发现相关文献．本文的目的是提出一个紧致差分格式,使得收敛阶达到O(τ2+h4),并通过理论和数值实验验证格式的正确性．

1 相关符号的定义

本文中使用的记号如下:

xj=a+jh,tn=nτ,j=0,1,…，J;n=0,1,…,N,

定义三对角矩阵

注意到矩阵H是一个对称正定矩阵,因此存在一个对称正定矩阵M,使得M=H-1．

2 差分格式及其解的估计

2.1 差分格式的建立

通过大量的数值试验可知,非守恒的格式在计算中容易出现非线性“爆炸”[4],守恒的格式能较好地完成计算．基于此,提出如下的差……