张国君

(重庆师范大学 数学学院,重庆 401331)

向量优化问题研究需要利用一些专业数学工具,而改进集是近年来研究向量优化问题的一个重要工具.改进集与free disposal集有着密切的联系.1959年,Debreu在文献[1]中首次提出了free disposal集的概念,并研究了它的一些应用.2011年,Chicco等人在文献[2]中提出了有限维空间中改进集的概念,并研究了改进集的一些性质.2012年,Gutiérrez等人在文献[3]中将改进集的概念推广到一般拓扑向量空间中,并研究了改进集的一些新性质.其它一些研究结果见文献[4-5].受文献[3,5-6]的启发,本文研究了向量优化中改进集的拓扑闭包的一些性质,并通过例子对相关结果进行了说明.

1 预备知识

定义1[1]设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥.若非空集合E⊂Y满足E+K=E,则称E是关于K的free disposal集.

定义2[2]设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥.若非空集合E⊂Y满足0∉E且E+K=E,则称E是关于K的改进集.

引理1[5]设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥.若非空集合E⊂Y是关于K的改进集,则

i) intE=intE+K;

ii) clE=clE+K.

引理2[7]设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥.S⊂Y是非空集合,则

i) int (cl (S+K))=S+intK;

ii) cl (S+K)=cl (S+intK).

引理3[6]设A⊂Y,B⊂Y是两个非空集合.若intA≠∅,则intA+B⊂int (A+B).

引理4[6]设A⊂Y,B⊂Y是两个非空凸集.若intA≠∅且intB≠∅,则int (A+B)=intA+intB.

引理5[3]设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥,若E⊂Y是关于K的改进集,则

i) int (clE)=intE;

ii) cl (intE)=clE.

引理6[5]设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥,若E⊂Y是关于K的改进集,则

i) intE=E+intK;

ii) intE=clE+intK.

1 改进集的拓扑性质

定理1设K⊂Y是具有非空拓扑内部的凸锥.若E⊂Y是关于K的改进集,则

i) clE=cl (intE+K);

ii) clE=cl (E+intK);

iii) clE=cl (clE+K);

iv) clE=cl (E+clK);

v) clE=cl (intE+intK);

vi) clE=cl (clE+intK);

vii) clE=cl (intE+clK);

viii) clE=cl (clE+clK).

证i) 因为E是关于K的改进集,故由引理1-i)和引理5-ii)得

clE=cl (intE)=cl (intE+K).

ii) 因为E是关于K的改进集,故利用引理5-ii),可得clE=cl (intE).再由引理6-i),得

cl (intE)=cl (E+intK).

因此,clE=cl (E+intK).

iii) 由E是关于K的改进集和引理1-ii),可得

clE=cl (clE)=cl (clE+K).

iv) 由ii)知clE=cl (E+intK)⊂cl (E+clK),故只需……