赵 拓， 赵华新， 徐 敏

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

在经典算子半群理论中,谱映射定理是其非常重要的组成部分,文献[1]给出了C0半群的谱的概念和谱映射定理;文献[2]定义了C半群的谱及其与生成元谱之间的关系;文献[3]给出了C半群的谱映射定理;文献[4-5]研究了可微C半群和广义C0半群的谱映射定理;文献[6]研究了双参数C0半群生成元的一些性质及其预解式;文献[7]研究了C半群的指数公式，并将其推广到双参数C半群上;文献[8]定义了双参数C半群及其收敛性.基于以上的研究，本文将单参数C0半群的谱及其谱映射定理推广到双参数C0半群上，给出了双参数C0半群谱的定义及谱映射定理.

本文中X均为复Banach空间,I为恒等算子,A为算子半群在Banach空间中的无穷小生成元.

1 基本概念与引理

定义1设{T(s,t)}s,t≥0是(A1,A2)生成的双参数C0半群,称集合

{aλ+bμ|((aλ+bμ)-T(s,t))-1∈B(X),a,b，λ,μ∈R}

为{T(s,t)}s,t≥0的预解集,记作ρ(T(s,t)),称集合Cρ(T(s,t))为双参数C0半群{T(s,t)}s,t≥0的谱,记作σ(T(s,t)).

定义2[2]设{T(s,t)}s,t≥0为复Banach空间X上的双参数C0半群,

1) 若((λa+μb)-T(s,t))-1不存在,则称(λa+μb)为{T(s,t)}s,t≥0的点谱,记作σp(T(s,t)).

引理1[3]设{T(t)}t≥0为复Banach空间X上由A生成的C0半群,则σ(T(t))⊇etσ(A).

2 主要结论

证对任意λ,μ∈R,由Bλ,μ(s,t)的定义可知Bλ,μ(s,t)∈Β(X),对∀x∈X,有

因为

=T(s,t)x,

(1)

⊇{(λa+μb)|eλa+μb∈ρ(T(s,t)),a,b，λ,μ∈R}.

对于∀x∈D(A),有

由Bλ,μ(s,t)的定义知Q与Bλ,μ(s,t)可交换,即对∀x∈D(A),有

综上可知

结论得证.

由定义2可知谱分为互不相交的3个部分,分别为点谱、连续谱、剩余谱．

2) 若eλs+μt∈σp(T(s,t)),则∃k∈N,使得

2. 引导质疑 读到这里，你有什么问题？（是什么原因让我理解了爱如茉莉的意思？“我”究竟经历了什么事情？）

由定理1知

即∃x0≠0，使得eλs+μtx0-T(s,t)x0=0，由定义2得eλs+μt∈σp(T(s,t)).

2) 设eλs+μt∈σp(T(s,t)),由定义2,∃x0≠0，使得eλs+μtx0-T(s,t)x0=0,又

e-(λa+μb)(l+t)T(a(l+t),b(l+t))x0=e-(λa+μb)le-(λa+μb)tT(al,bl)T(at,bt)x0=e-(λa+μb)lT(al,bl)x0,

所以连续函数l→e-(λa+μb)lT(al,bl)x0是以t为周期的周期函数,因为e-(λa+μb)lT(al,bl)x0不恒等……