朱 捷, 顾秋宇， 刘 莹, 杜广环, 王佳秋

(黑龙江科技大学 理学院,黑龙江 哈尔滨 150027)

0 引言

线性半群同态近年来引起许多学者关注,已成为矩阵代数中重要的研究课题[1-9]．我们描绘了F2上的n阶线性群到域K上的m阶线性群(n=m=2,n=m≥3,n>m)的同态形式[1-3],从而完全描述了二元域F2上一般线性群的同态形式．但关于矩阵半群同态的描绘并不多[4-7],因此,我们使用矩阵计算与群的定义关系,结合文献[1-3]中已有的一般线性群结果,在文献[4]中通过引入标准型、延断型、平凡型、特殊型的概念,描述了M2(F2)到M2(K)的线性半群同态形式(其中同态是仅保持乘法，但未必保单位矩阵的映射)．

本文结合文献中已有的关于一般线性群的结果,在正整数n≥m的限制下,给出了n>m,乘法半群同态(不必保幺元)为In,s,r或为φ1的延断(其中:若X为GL2(F2)的2阶元,φ1(X)=-1;若X=I2或X为3阶元,φ1(X)=1);当n=m时,乘法半群同态(不必保幺元)除In,s,r外,为标准型或线性非平凡解同态的延断．从而完全描述了Mn(F2)到Mm(K)的所有线性半群同态形式(仅保持乘法，未必保单位矩阵的映射)．

1 基础知识

本文中,设K为域,n∈N+,SLn(K),GLn(K),Mn(K),DGLn(K)分别表示K上的n阶特殊线性群、一般线性群、线性半群、换位子群．以F2表示仅含两个元素的域，Tij(λ)(i≠j,λ∈K*,K*=K{0})为将n阶单位矩阵中(i,j)位置的元素易之以λ所得到的矩阵．对于X∈Mn(K),记iPX=P-1XP(其中P∈GLn(K))．

由[1-7]可知,下述映射φ是Mn(F2)到Mm(K)(n≥m)的半群同态(仅保持乘法,未必保单位矩阵)．

Ⅰ标准型

1)φ(X)=PXτP-1,∀X∈Mn(F2),其中P∈GLm(K),τ:F2→K为嵌入．

2)φ(X)=P(X*τ)TP-1,∀X∈Mn(F2),其中P∈GLm(K),X*为X的伴随矩阵,τ同1)．

Ⅱ延断型

设φ1:GLn(F2)→GLm(K)为非平凡同态,则称下列映射φ为φ1在Mn(F2)到Mm(K)的延断：

Ⅲ平凡型

设r,s∈{0,1,…,m},r≤s,P∈GLm(K),置

其中对于任意n,m∈N+,任意域K,称其为平凡同态,并以In,s,r表之．

Ⅳ……