吴琪, 李晔

(哈尔滨工程大学 船舶工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

1 四元数

四元数向量写法为

Q=t+xi+yj+zk

以原点为旋转中心，旋转的轴分别是α、β、γ(α2+β2+γ2=1)，用右手系的坐标定义，望向向量α、β、γ的前进方向反时针旋转θ，用四元数表示为[4]

在大地坐标系和联体坐标系中，当给定物体的姿态用φ、θ、φ表示，并且分别以x、y、z旋转，则实现从四元数到欧拉角的转换公式为[5]

θ=arcsin[-2(q1q3-q0q2)]

式中：φ、θ、φ分别为横滚角、纵倾角和偏航角，q0、q1、q2、q3分别为四元数的各个分量。实现上述坐标转换的方向余弦矩阵为

Abg=Ax(φ)Ay(θ)Az(φ)=

实现相应坐标转换的四元数矩阵为

2 水下机器人空间运动方程

水下机器人6自由度空间运动方程可以写为[1]

(1)

欠驱动水下机器人一般采用桨—舵—翼形式，因此外部作用力轴向推进力τ1、横滚力矩τ4、纵倾力矩τ5和偏航力矩τ6，忽略二阶非线性水动力细数的影响，将方程(1)展开为式(2):

w(cosφsinθcosφ+sinφsinφ)

w(sinφsinθcosφ-cosφsinφ)

(Xu/m11)u]

(2)

为了获得合适的同类型的运动模型，选择单位四元数来参数化模型(2)，单位四元数定义为：在单位向量k附近旋转角度φ，则4个参数有如下形式：

ε4=cos(φ/2)

假设|φ|<π，且ε4>0，单位四元数满足：

(3)

方程(2)可以写为

(Xu/m11)u]

(Yv/m22)v]

(Zw/m33)w]

(4)

定义向量η=[η1η2]T，其中η1=[xyz]T是惯性坐标系下的位置向量，η2=[ε1ε2ε3]T。定义τ=[τ1τ2τ3τ4τ5τ6]T分别代表纵向、横向、垂向、横滚、纵倾、首摇方向的控制输入。

3 AUV的镇定设计

这一部分只考虑AUV的镇定控制输入只有4个方向：轴向推进力τ1、横滚力矩τ4、纵倾力矩τ5和偏航力矩τ6。根据Brockett定理的第3个条件[6]，可知六自由度空间运动方程不存在任何光滑时不变反馈控制使系统在平衡点附近渐进稳定。因此本文提出一个连续时变反馈控制律。

考虑……