程建玲

(郑州华信学院 基础部, 河南 郑州 451150)

0 引言

国内外多种高等数学教材在证明微分中值定理时，大都引进满足定理条件的辅助函数，然后应用罗尔定理证明.有利用面积构造辅助函数[1]，有利用距离构造辅助函数[2]，有利用坐标轴旋转变换构造辅助函数[3]，还有利用微分方程构造辅助函数[4].然而，辅助函数是如何找到的？它们之间有没有联系？辅助函数有没有一般形式？这些问题教材谈的比较简单，不是很深入透彻，初学者不容易理解.笔者经过反复思考，对这些问题进行探讨，最终得出构造辅助函数的一般形式.

1 拉格朗日中值定理中辅助函数的构造

1.1 拉格朗日中值定理

1.2 拉格朗日中值定理的证明中辅助函数的构造

图1 拉格朗日中值定理图

(1)

此时L就是过原点(0,0)且平行于AB的直线.

(2)

此时L就是直线AB.

(3)

此时L就是过点(a,0)且平行于AB的直线.

(4)

此时L就是过点(m,n)且平行于AB的直线.

以上(1)(2)(3)(4)任一个辅助函数都可以用来证明拉格朗日定理.以上这些辅函数都有一个共同特点：直线L都平行于弦AB,这样作差后构造的辅助函数在两个端点的函数值才能相等.

2 柯西中值定理中辅助函数的构造

2.1 柯西中值定理

2.2 柯西中值定理的证明中辅助函数的构造

受拉格朗日定理证明中构造辅助函数的方法，一般地可设辅助函数为：

其中c,d为任意常数且c≠0，容易验证ψ(x)满足罗尔定理的三个条件.

(5)

(6)

(7)

当c=g(b)-g(a),d=g(a)f(b)-g(b)f(a)时，得到

ψ(x)=[g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x)+g(a)f(b)-g(b)f(a)

(8)

以上(5)(6)(7)(8)任一个辅助函数都可以用来证明柯西中值定理.

3 微分中值定理的推广

我……